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[BZOJ 2142]礼物（扩展Lucas定理）

news 来源：原创 2024/4/25 14:43:59

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Solution

扩展Lucas的板子题

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL Mod,n,m,w;
LL read()
{
    LL x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
LL pow(LL a,LL n,LL p)
{
    LL res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)res=(res*a)%p;
        a=(a*a)%p,n>>=1;
    }
    return res;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)d=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
}
LL inv(LL a,LL p)
{
    LL d,x,y;exgcd(a,p,d,x,y);
    return (x+p)%p==0?p:(x+p)%p;
}
LL fac(LL n,LL p,LL pk)
{
    if(n==0)return 1;
    LL res=1;
    for(LL i=2;i<=pk;i++)
        if(i%p)res=(res*i)%pk;
    res=pow(res,n/pk,pk);
    for(LL i=2;i<=n%pk;i++)
        if(i%p)res=(res*i)%pk;
    return (res*fac(n/p,p,pk))%pk;
}
LL C(LL n,LL m,LL p,LL pk)
{
    if(n<m)return 0;
    LL a=fac(n,p,pk),b=fac(m,p,pk),c=fac(n-m,p,pk);
    LL k=0;
    for(LL i=n;i;i/=p)k+=i/p;
    for(LL i=m;i;i/=p)k-=i/p;
    for(LL i=n-m;i;i/=p)k-=i/p;
    LL res=(((a*inv(b,pk))%pk)*inv(c,pk))%pk*pow(p,k,pk)%pk;
    return res*(Mod/pk)%Mod*inv(Mod/pk,pk)%Mod;
}
LL Lucas(LL n,LL m)
{
    LL res=0,P=Mod;
    for(LL i=2;i<=P;i++)
        if(P%i==0)
        {
            LL pk=1;
            while(P%i==0)P/=i,pk*=i;
            res=(res+C(n,m,i,pk))%Mod;
        }
    return res;
}
int main()
{
    Mod=read(),n=read(),m=read();
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        w=read();
        if(n<w){printf("Impossible");return 0;}
        ans=(ans*Lucas(n,w))%Mod;
        n-=w;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}