【线性代数的本质|笔记】抽象几何空间、克莱姆法则及其几何解释
抽象几何空间、克莱姆法则及其几何解释
抽象几何空间
- 概述
“普适的代价是抽象”
“Abstractness is the price of generality”
所谓抽象几何空间，就是把几何空间的概念进行拓展，从一个更加宽广的角度去理解什么是向量，什么是向量空间，
- 用向量的观点去看待函数的运算
①函数的加法运算，相当于是多维向量的相加，只不过因为函数定义域的连续性和宽泛性，进行加法运算的向量维数可能是无穷的。
②函数的数乘运算：解释上同
- 从向量空间到“函数”空间
因为对于向量的运算不外乎数乘和加法这两种，所以——
最初以空间中的箭头为背景考虑的线性代数的合理概念和解决问题的手段都可以很灵活地嫁接到函数空间中。
①函数的线性变换：接受一个函数，并通过作用变换成另外一个函数。
形式上很像我们之前理解的[复合函数]
- 特例：微积分中的导数运算
——求导性具有可加性和成比例性（这一点可以通过下面对线性变换的严格定义进行理解）- “一个函数变换是线性的”？
线性变换保持向量加法运算和数乘运算
因为任意一个向量都能表达为基向量以某种方式进行线性组合，求一个向量变换后的结果，实际上就是求出变换后的基向量以相同方式进行线性组合的结果。
②用矩阵来描述变换
e.g.用矩阵来描述求导变换
- 要将函数的多项式表示类比成向量的坐标和矩阵表示，就需要定义函数基
多项式的次数任意高，基函数集也是无穷大的。- 坐标表示
- 求导矩阵的形式
稀疏矩阵，大部分元素都为0，但是次对角线上排列着一系列的数字。
作用过程：如下图所示，将求到矩阵右乘上函数向量，就能得到相应导函数的向量形式。
求解方法：求出每一个基函数的导数，把结果放在对应列中——第一个基函数的导数对应的向量放在求导矩阵的第一列，以此类推…
③其他相互类比的概念
- 总结
向量是一个很宽泛的概念，向量空间亦同。
只要你处理的对象具有合理的数乘和相加概念，不管是箭头还是向量还是函数等等，线性代数中所有关于向量、线性变换和其他的概念应该都适用于它。
线性代数中关于“向量”空间的公理
克莱姆法则及其几何意义
- 从矩阵到线性变换到行列式
①矩阵方程的几何理解
②矩阵方程的一个常见求解思路
将上述矩阵方程转变成矩阵各列的线性组合，那么我们实际上是要求解在变换后的基向量的一个怎样的线性组合下，才能得到目标向量。
- 但是矩阵方程的求解结果是取决于这个矩阵本身的特性的——矩阵变换是否降维
a.当矩阵的变换是降维的，即矩阵的行列式为0——
要么矩阵没有一个解，要么矩阵的解不唯一
b.矩阵的变换是相同维度的，即矩阵的行列式不为0，那么输入向量和输出向量之间是一一对应的。
观念扫盲：不要想当然地认为变换前后的坐标是一致的。
因为无论在哪一个坐标系中，向量的坐标都是由向量和基向量的点积运算得到的。
但是大部分矩阵变换都会对向量的点积进行改变。
- 那些不改变点积运算的矩阵变换，统称为正交变换。
- 正交变换使得基向量在变换后依然保持单位长度且相互垂直。
虽然上述用点乘对坐标进行解释的观念在一般变换作用下并不成立。
但是它给了我们一个启发——找到一个对坐标的合理解释，使得其在矩阵变换前后能够维持不变性。
- 坐标表示的不变性
①对向量坐标的解释——面积/体积
二维中，某一基向量和该向量围成的平行四边形的面积
三维中，某个轴上的坐标即为考虑，向量和除了这个轴之外的两个基向量组成的平行六面体的体积。
p.s.不论是面积还是体积，我们讨论的均为有向的，所以在计算时要注意基向量出现的顺序，以及右手定则的判定。
②使用面积或体积对向量坐标表示的意义
我们知道，在矩阵变换的过程中，面积或体积并不是不变的。但是，他们的变换有一个很好的特征，即：所有的面积或体积都是按照一样的比例进行放大或缩小。
- 克莱姆法则的理解
①变换后的坐标求解公式
现在考察一个实例，即y坐标，不论是变换前还是变换后，y坐标的值都等于x轴的基向量和该向量本身所围成的平行四边形的面积。
变换前，面积就等于原坐标值，y。
变换后，面积等于新的坐标值，y‘。且等于原面积乘上矩阵的行列式。
p.s.这里行列式代表变换造成的面积或体积的放缩倍数，不再赘述，详情见有关行列式的博文。
综上所述，即可得到，新的坐标y等于上述平行四边形的面积除以变换矩阵A的行列式
问题的关键在于——如何求解一个平行四边形的面积？
②平行四边形面积的求解
同样是根据行列式的意义，根据下图，想要求黄色区域的面积，该平行四边形一条边是x轴的基向量，另一条边是变换后的向量。
那么我们可以构造一个变换矩阵，假设原来的两个基向量，变成了现在平行四边形两条边所在的直线位置。
那么得到的矩阵的行列式就是平行四边形的面积。
体悟：视频看到这里的时候，真的在内心惊呼了一句“太妙了”！！而这里思维巧妙的原因，可能是因为对矩阵行列式的两重理解。
①相对观点理解：矩阵的行列式为A，就说明经过该矩阵的变换之后，空间中任意一块区域的面积或体积放缩了A倍。
②绝对观点理解：绝对观点其实就是在相对观点的基础上，找到一个参照物。我们选择的参照物就是两个基向量（假设是二维平面）围成的正方形区域，那么行列式A的值，同样代表经过变换之后，变换后的基向量围成的平行四边形的面积。
后记
本文为B站《线性代数的本质》公开课的随课笔记。
原视频链接见下方——
【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集P16