复指数与高斯函数乘积的傅里叶变换_希尔伯特变换：将实数信号变换成解析信号？节省带宽，提升效率...
通信中的调制，我们可以看作为在频域范围内的频谱搬移技术。
对于一个原始信号m(t)，我们加上一个直流分量A0，再乘以载波信号，就得到了调幅AM信号。
AM信号，之前的文章介绍过。
模拟调制：我们为什么要调制？先从AM幅度调制开始
对于AM信号，其时域与频域的变化过程如图1所示。原始信号m(t)加上一个直流分量A0，然后再与载波相乘，得到已调信号Sam(t)；与之对应的，原始信号m(t)的频谱为M(ω),经过载波调制后，已调信号Sam(t)的频谱出现了搬移。
图1 AM信号的产生与频域变化过程
DSB信号
AM信号中，加一个直流分量A0。由"典型信号傅里叶变换"可知，直流分量的傅里叶变换为冲激函数，所以图1中，可以在频域中看到冲激(红色箭头)
为什么要加上一个直流分量？
图2 AM调制器
这个直流分量的累加(需要满足一定的条件)，是保证已调制信号的包络与原始信号m(t)保持一致。然后通过简易的包络检波器进行检波。
现在我们把直流分量去掉，如图3所示
图3 双边带信号的产生与频谱变化过程
此时已调信号Sdsb(t)的包络已经不再与m(t)保持一致了，所以此时不能用包络解调器，而需要用相干解调器。
相干解调：三角函数公式有何用？原来就是通信中的调制解调过程
时域表达式可以写作
频域表达式为
截止目前，我们所说的基带信号频谱均是关于纵坐标轴(零点)对称的，因此会出现负频率。负频率只有数学上的意义，并不实际占用带宽。但是基带信号调制到高频之后，形成了关于Wc的对称频谱，原来的负频率是占用了实实在在的频率资源的。
图4 DSB信号调制器
我们把这种信号叫作双边带信号DSB(Double Side Band)，Wc左边的边带叫下边带，Wc右边的边带叫上边带。我们在接收端，通过一些滤波操作，获取这些频谱信息，然后恢复出原始信号。
很明显，我们希望占用少量的带宽，就可以恢复出原来的信号。
因为频谱资源非常稀缺，在同一个频率段，如果张三用了，李四就不能用了，会造成相互间干扰！
双边带信号占用了两倍的频率资源，造成了浪费。
|那怎么办呢？最直接的办法就是把基带信号的频谱砍掉一半|
SSB信号
用阶跃函数可以实现这个目的，图像为
图5 阶跃函数
用两倍的阶跃函数与基带信号的频谱相乘，得到基带信号的单边带信号(SSB,Single Side Band)的频谱，
2倍因子是为了使信号的形式更简单(还有一层原因，是引入负频率后，原先正频率的幅度值降低一半，这里把负频率削去，自然要补上这一半)。调制到射频后，得到射频的单边带频谱，如图6所示。
图6 SSB信号调制过程
上下边带的频谱是对称的，我们只要知道一个边带，其他的信息自然就知道了。
Hilbert变换
图6已经清楚的描述了M(w)被"削"去一半边带的过程。那么其时域的情况呢？
根据傅里叶变换的性质，频域相乘对应时域卷积，我们得到
根据之前班长与大家所述的内容，阶跃函数的傅里叶变换为
那么根据傅里叶变换的对称与尺度特性
最终可以得出频域阶跃函数的时域表达式。
那么，
我们做一个定义
可以认为信号s(t)经过一个系统后的响应，系统的冲激响应为h(t)=1/πt。
图7 希尔伯特
在零点处，可以认为h(t)=0，如图8所示。这个系统有一个专门的名字叫作希尔伯特变换。
图7 希尔波波特变换的冲激响应
没错，我们在推导SSB信号的时域表达式时，不小心"发现"了希尔波特变换。
频域表达式可以写成
频域乘积，时域卷积，可以得出
根据两种不同的表达形式，我么可以得出希尔伯特变换的频域特性：
也可以直接通过冲激响应h(t)=1/πt，取傅里叶变换得出。这个积分需要一定技巧。
我们知道引入虚数j，可以更加方便的表达旋转。
所以从频域响应可以看出，希尔伯特变换不会改变幅度值，对于正频率w>0，相移-90度；对于负频率w<0，相移+90度；
图8 希尔波特四次变换
图8描述了对信号进行4次希尔伯特变换，频域的变化过程。每一次在时域进行希尔伯特变换，那么在频域就出现一次90度相位翻转。二次希尔伯特变换后，得到了原频域信号的相；四次希尔伯特变换后，恢复原频域信号。
|希尔伯特的逆变换|
很明显，如果我知道一个信号的希尔伯特变换，那么我们再对他进行一次希尔伯特变换，然后再求傅里叶反变换，就可以得到原始的时域信号了。
总结
到这里，我们知道对于一个双边带信号m(t)，只需要加上自身的希尔伯特变换，就可以得到单边带信号SSB了，
此时，节省了一半带宽。
更为一般的，实数信号x(t)，Hilbert变换信号为x~(t),那么把两者相加，
得到的信号我们叫做解析信号。
有SSB推导过程看出，解析信号的频谱只有正频段且幅度值为原来的两倍，实现了信号由双边谱转换成单边谱。
将实数信号变换成解析信号的结果就是，把一个一维的信号变成了二维复平面上的信号，复数的模和幅角代表了信号的幅度和相位，如图9所示。
图9 解析信号的投影
欧拉公式表明，复指数信号e^jx可以表示成一个实数信号和一个虚数信号的和的形式，看着和解析信号是多么的相似啊！
欧拉公式实际上是一种特殊的，或者说，最简单的Hilbert变换。
@通信M班长