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【高等数学基础进阶】定积分应用

文章目录

    • 几何应用
      • 平面图形的面积
      • 旋转体体积
      • 曲线弧长
      • 旋转体侧面积
    • 物理应用
    • 常考题型与典型例题
      • 平面域面积和旋转体体积的计算
      • 物理应用

几何应用

平面图形的面积

若平面域 D D D由曲线 y = f ( x ) , y = g ( x ) ( f ( x ) ≥ g ( x ) ) , x = a , x = b ( a < b ) y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x)),x=a,x=b(a<b) y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x)),x=a,x=b(a<b)所围成,则
S = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x S=\int^{b}_{a}[f(x)-g(x)]dx S=ab[f(x)g(x)]dx

化成二重积分
S = ∬ D 1 d σ = ∫ b a d x ∫ g ( x ) f ( x ) d y S=\iint\limits_{D}1d \sigma =\int^{a}_{b}dx \int^{f(x)}_{g(x)}dy S=D1dσ=badxg(x)f(x)dy

若平面域 D D D由曲线 ρ = ρ ( θ ) , θ = α , θ = β ( α < β ) \rho =\rho (\theta ),\theta =\alpha,\theta =\beta(\alpha<\beta) ρ=ρ(θ),θ=α,θ=β(α<β)所围成,则
S = 1 2 ∫ α β ρ 2 ( θ ) d θ S= \frac{1}{2}\int^{\beta}_{\alpha}\rho ^{2}(\theta )d \theta S=21αβρ2(θ)dθ

化成二重积分
S = ∬ D 1 d σ = ∫ α β d θ ∫ 0 ρ ( θ ) ρ d ρ S=\iint\limits_{D}1d \sigma =\int^{\beta}_{\alpha}d \theta \int^{\rho (\theta )}_{0}\rho d \rho S=D1dσ=αβdθ0ρ(θ)ρdρ

旋转体体积

若平面域 D D D由曲线 y = f ( x ) , ( f ( x ) ≥ 0 ) , x = a , x = b ( a < b ) y=f(x),(f(x)\geq0),x=a,x=b(a<b) y=f(x),(f(x)0),x=a,x=b(a<b)所围成,则
区域 D D D x x x轴旋转一周所得到的旋转体积为
V x = π ∫ a b f 2 ( x ) d x V_{x}=\pi \int^{b}_{a}f^{2}(x)dx Vx=πabf2(x)dx

取一小段 d x , ( a < x < b ) dx,(a<x<b) dx,(a<x<b),则这一小段绕 x x x轴旋转的得到圆柱的高为 d x dx dx,半径为 f ( x ) f(x) f(x),因此体积为
d V = π f 2 ( x ) d x dV=\pi f^{2}(x)dx dV=πf2(x)dx
然后积分得到 V x V_{x} Vx

区域 D D D y y y轴旋转一周所得到的旋转体积为
V y = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x V_{y}=2 \pi \int^{b}_{a}xf(x)dx Vy=2πabxf(x)dx

取一小段 d x , ( a < x < b ) dx,(a<x<b) dx,(a<x<b),则这一小段绕 y y y轴旋转出来一个圆筒,将该圆筒在任意一处竖直截开,得到一个长方体,该长方体的宽为 d x dx dx,高为 f ( x ) f(x) f(x),长为 2 π x 2\pi x 2πx,因此体积为
d V = 2 π x f ( x ) d x dV=2\pi xf(x)dx dV=2πxf(x)dx
然后积分得到 V y V_{y} Vy

对于任意的区域 D D D a x + b y = c ax+by=c ax+by=c旋转,得到的旋转体体积,可以考虑二重积分,即在 D D D d σ d \sigma dσ,该面积微元绕直线旋转得到一个环状体,该环状体的面积为 d σ d \sigma dσ,长度为 2 π r ( x , y ) 2\pi r(x,y) 2πr(x,y),其中 r ( x , y ) r(x,y) r(x,y)表示该面积微元到直线的距离一般为 r ( x , y ) = ∣ a x + b y − c ∣ a 2 + b 2 \begin{aligned} r(x,y)=\frac{|ax+by-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\end{aligned} r(x,y)=a2+b2 ax+byc,因此该环状体体积为
V = 2 π r ( x , y ) d σ V=2 \pi r(x,y)d \sigma V=2πr(x,y)dσ
对面积微元做二重积分即可得到整体体积,即
V = 2 π ∬ D r ( x , y ) d σ V=2\pi \iint\limits_{D}r(x,y)d \sigma V=2πDr(x,y)dσ
用该结论推绕 x , y x,y x,y轴旋转的结论
区域 D D D x x x轴旋转一周所得到的旋转体积为
V = 2 π ∬ D y d σ = 2 π ∫ a b d x ∫ 0 f ( x ) y d y = π ∫ a b f 2 ( x ) d x V=2\pi\iint\limits_{D}yd \sigma=2\pi \int^{b}_{a}dx \int^{f(x)}_{0}ydy=\pi \int^{b}_{a}f^{2}(x)dx V=2πDydσ=2πabdx0f(x)ydy=πabf2(x)dx
区域 D D D y y y轴旋转一周所得到的旋转体积为
V = 2 π ∬ D x d σ = 2 π ∫ a b d x ∫ 0 f ( x ) x d y = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x V=2\pi \iint\limits_{D}x d \sigma=2\pi \int^{b}_{a}dx \int^{f(x)}_{0}xdy=2\pi \int^{b}_{a}xf(x)dx V=2πDxdσ=2πabdx0f(x)xdy=2πabxf(x)dx

曲线弧长

如果由直角坐标方程给出 C : y = y ( x ) , a ≤ x ≤ b C:y=y(x),a\leq x\leq b C:y=y(x),axb
s = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x s=\int^{b}_{a}\sqrt{1+y'^{2}}dx s=ab1+y2 dx

如果由参数方程给出 C : { x = x ( t ) y = y ( t ) , α ≤ t ≤ β C:\left\{\begin{aligned}&x=x(t)\\&y=y(t)\end{aligned}\right.,\alpha\leq t \leq \beta C:{x=x(t)y=y(t),αtβ
s = ∫ α β x ′ 2 + y ′ 2 d t s=\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}dt s=αβx2+y2 dt

如果由极坐标方程给出 C : ρ = ρ ( θ ) , α ≤ θ β C:\rho =\rho (\theta ),\alpha\leq \theta \beta C:ρ=ρ(θ),αθβ
s = ∫ α β ρ 2 + ρ ′ 2 d θ s=\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{\rho ^{2}+\rho '^{2}}d \theta s=αβρ2+ρ2 dθ

直接带公式即可,没什么技巧

旋转体侧面积

S = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x S=2\pi \int^{b}_{a}f(x)\sqrt{1+f'^{2}(x)}dx S=2πabf(x)1+f2(x) dx

这里去任意一小段 d x dx dx,对应弧 d S dS dS,则根据勾股定理,有
d S = ( d x ) 2 + ( f ′ ( x ) d x ) 2 = 1 + f ′ 2 ( x ) d x dS=\sqrt{(dx)^{2}+(f'(x)dx)^{2}}=\sqrt{1+f'^{2}(x)}dx dS=(dx)2+(f(x)dx)2 =1+f2(x) dx

S = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x = 2 π ∫ a b f ( x ) d S S=2\pi \int^{b}_{a}f(x)\sqrt{1+f'^{2}(x)}dx=2\pi \int^{b}_{a}f(x)dS S=2πabf(x)1+f2(x) dx=2πabf(x)dS

此处在曲线弧长的直角坐标方程就已经有提到

物理应用

压力,变力做功,引力

常考题型与典型例题

平面域面积和旋转体体积的计算

例1:设 D D D是由曲线 x y + 1 = 0 xy+1=0 xy+1=0与直线 y + x = 0 y+x=0 y+x=0 y = 2 y=2 y=2围成的有界区域,则 D D D的面积为()
![[附件/Pasted image 20220901084351.png]]

S = ∬ D 1 d σ = ∫ 1 2 d y ∫ − y − 1 y d x = ∫ 1 2 ( y − 1 y ) d y = ( 1 2 y 2 − ln ⁡ y ) ∣ 1 2 = 3 2 − ln ⁡ 2 \begin{aligned} S=\iint\limits_{D}1d \sigma&=\int^{2}_{1}dy \int^{- \frac{1}{y}}_{-y}dx\\&=\int^{2}_{1}(y- \frac{1}{y})dy\\ &=(\frac{1}{2}y^{2}-\ln y)\Big|^{2}_{1}\\ &= \frac{3}{2}-\ln 2 \end{aligned} S=D1dσ=12dyyy1dx=12(yy1)dy=(21y2lny) 12=23ln2

例2:设封闭曲线 L L L的极坐标方程为 r = cos ⁡ 3 θ ( − π 6 ≤ θ ≤ π 6 ) r=\cos3\theta (-\frac{\pi}{6}\leq \theta \leq \frac{\pi}{6}) r=cos3θ(6πθ6π),则 L L L所围平面图形的面积为()
![[附件/Pasted image 20220901090302.png]]

S = 1 2 ∫ α β ρ 2 ( θ ) d θ = 2 ⋅ 1 2 ∫ 0 π 6 cos ⁡ 2 3 θ d θ = 1 2 ∫ 0 π 6 ( 1 + cos ⁡ 6 θ ) d θ = 1 2 ( θ + 1 6 sin ⁡ 6 θ ) ∣ 0 π 6 = π 12 \begin{aligned} S= \frac{1}{2}\int^{\beta}_{\alpha}\rho^{2}(\theta )d \theta &=2\cdot\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{6}}_{0}\cos ^{2}3\theta d \theta \\ &=\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{6}}_{0}(1+\cos 6\theta )d \theta \\ &=\frac{1}{2}(\theta + \frac{1}{6}\sin 6\theta )\Big|^{\frac{\pi}{6}}_{0}\\ &= \frac{\pi}{12} \end{aligned} S=21αβρ2(θ)dθ=22106πcos23θdθ=2106π(1+cos6θ)dθ=21(θ+61sin6θ) 06π=12π

例3:过点 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)作曲线 L : y = ln ⁡ x L:y=\ln x L:y=lnx的切线,切点为 A A A,又 L L L x x x轴交于 B B B点,区域 D D D L L L与直线 A B AB AB围成,求区域 D D D的面积及 D D D x x x轴旋转一周所得旋转体的体积
![[附件/Pasted image 20220901093720.png]]

y − y 0 = 1 x 0 ( x − x 0 ) ⇒ 1 − ln ⁡ x 0 = − 1 ⇒ x 0 = e 2 y-y_{0}=\frac{1}{x_{0}}(x-x_{0})\Rightarrow 1-\ln x_{0}=-1 \Rightarrow x_{0}=e^{2} yy0=x01(xx0)1lnx0=1x0=e2

y − 1 = k ( x − 0 ) ⇒ y = k x + 1 ⇒ { k x + 1 = ln ⁡ x k = 1 x ⇒ x = e 2 y-1=k(x-0)\Rightarrow y=kx+1\Rightarrow \left\{\begin{aligned}&kx+1=\ln x\\&k=\frac{1}{x}\end{aligned}\right.\Rightarrow x=e^{2} y1=k(x0)y=kx+1 kx+1=lnxk=x1x=e2
可知 C C C点坐标为 ( e 2 , 2 ) (e^{2},2) (e2,2)
S = ∫ 1 e 2 ln ⁡ x d x − 1 2 ( e 2 − 1 ) 2 = 2 V = π ∫ 1 e 2 ln ⁡ 2 x d x − 1 3 ⋅ π 2 2 ⋅ ( e 2 − 1 ) = 2 π 3 ( e 2 − 1 ) \begin{aligned} S&=\int^{e^{2}}_{1}\ln xdx- \frac{1}{2}(e^{2}-1)2=2\\ V&=\pi \int^{e^{2}}_{1}\ln ^{2}xdx- \frac{1}{3}\cdot \pi2^{2}\cdot (e^{2}-1)=\frac{2\pi}{3}(e^{2}-1) \end{aligned} SV=1e2lnxdx21(e21)2=2=π1e2ln2xdx31π22(e21)=32π(e21)

例4:曲线 y = ∫ 0 x tan ⁡ t d t ( 0 ≤ x ≤ π 4 ) y=\int^{x}_{0}\tan tdt(0\leq x\leq \frac{\pi}{4}) y=0xtantdt(0x4π)的弧 s = ( ) s=() s=()

s = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x = ∫ 0 π 4 1 + tan ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) ∣ 0 π 4 = ln ⁡ ( 2 + 1 ) \begin{aligned} s=\int^{b}_{a}\sqrt{1+y'^{2}}dx&=\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\sqrt{1+\tan ^{2}x}dx\\ &=\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\sec xdx\\ &=\ln (\sec x+\tan x)\Big|^{\frac{\pi}{4}}_{0}\\ &=\ln (\sqrt{2}+1) \end{aligned} s=ab1+y2 dx=04π1+tan2x dx=04πsecxdx=ln(secx+tanx) 04π=ln(2 +1)

物理应用

例5:一容器的内侧是由图中曲线绕 y y y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 x 2 + y 2 = 2 y ( y ≥ 1 2 ) x^{2}+y^{2}=2y(y\geq \frac{1}{2}) x2+y2=2y(y21) x 2 + y 2 = 1 ( y ≤ 1 2 ) x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2}) x2+y2=1(y21)连接而成

  • 求容器容积
  • 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功

(长度单位 m m m,重力加速度 g m / s 2 g m/s^{2} gm/s2,水的密度为 1 0 3 k g / m 3 10^{3} kg/m^{3} 103kg/m3
![[附件/Pasted image 20220901100107.png|250]]

x 2 + y 2 = 1 ( y ≤ 1 2 , x ≥ 0 ) x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2},x\geq0) x2+y2=1(y21,x0)取一个 d y dy dy的小薄片,则该小薄片绕 y y y轴旋转的体积为
π x 2 d y \pi x^{2}dy πx2dy
其实用最基本的公式或二重积分都能做出来

V = 2 ⋅ π ∫ − 1 1 2 x 2 d y = 2 ⋅ π ∫ − 1 1 2 ( 1 − y 2 ) d y = 9 π 4 V=2\cdot \pi \int^{\frac{1}{2}}_{-1}x^{2}dy=2 \cdot \pi \int^{\frac{1}{2}}_{-1}(1-y^{2})dy=\frac{9\pi}{4} V=2π121x2dy=2π121(1y2)dy=49π

x 2 + y 2 = 1 ( y ≤ 1 2 ) x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2}) x2+y2=1(y21)取一个 d y dy dy的小薄片,则该小薄片到 y = 2 y=2 y=2的距离 S S S
S = 2 − y S=2-y S=2y
对于 F F F,有
F = m g = ρ V g = 1 0 3 ⋅ π x 2 ⋅ d y ⋅ g F=mg=\rho Vg=10^{3}\cdot \pi x^{2}\cdot dy \cdot g F=mg=ρVg=103πx2dyg
对于 x 2 + y 2 = 2 y ( y ≥ 1 2 ) x^{2}+y^{2}=2y(y\geq \frac{1}{2}) x2+y2=2y(y21)同理,换一个方程就行

W = 1 0 3 g ∫ − 1 1 2 π ( 1 − y 2 ) ( 2 − y ) d y + 1 0 3 g ∫ 1 2 2 π ( 2 y − y 2 ) ( 2 − y ) d y = 27 8 ⋅ 1 0 3 π g \begin{aligned} W&=10^{3}g\int^{\frac{1}{2}}_{-1}\pi(1-y^{2})(2-y)dy+10^{3}g \int^{2}_{\frac{1}{2}}\pi(2y-y^{2})(2-y)dy\\ &=\frac{27}{8}\cdot 10^{3}\pi g \end{aligned} W=103g121π(1y2)(2y)dy+103g212π(2yy2)(2y)dy=827103πg

考虑一个薄层 d y dy dy一般称为元素法(微元法)

例6:某闸门的形状与大小如图所示,其中 y y y为对称轴,闸门的上部为矩形 A B C D ABCD ABCD D C = 2 m DC=2m DC=2m,下部由二次抛物线与线段 A B AB AB所围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5 : 4 5:4 5:4,闸门矩形部分的高 h h h应为多少
![[附件/Pasted image 20220901102043.png|150]]

F = P S F=PS F=PS
本题也是元素法,不做详细讲解

F 1 = 2 ∫ 1 h + 1 ρ g ( h + 1 − y ) d y = 2 ρ g [ ( h + 1 ) y − y 2 2 ] 1 h + 1 = ρ g h 2 F 2 = 2 ∫ 0 1 ρ g ( h + 1 − y ) y d y = 2 ρ g [ 2 3 ( h + 1 ) y 3 2 − 2 5 y 5 2 ] 0 1 = 4 ρ g ( 1 3 h + 2 15 ) \begin{aligned} F_{1}&=2\int^{h+1}_{1}\rho g(h+1-y)dy=2\rho g\left[(h+1)y- \frac{y^{2}}{2}\right]^{h+1}_{1}\\ &=\rho gh^{2}\\ F_{2}&=2\int^{1}_{0}\rho g(h+1-y)\sqrt{y}dy=2\rho g\left[\frac{2}{3}\left(h+1\right)y^{\frac{3}{2}}- \frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}\right]^{1}_{0}\\ &=4 \rho g\left(\frac{1}{3}h+ \frac{2}{15}\right) \end{aligned} F1F2=21h+1ρg(h+1y)dy=2ρg[(h+1)y2y2]1h+1=ρgh2=201ρg(h+1y)y dy=2ρg[32(h+1)y2352y25]01=4ρg(31h+152)
因此,由题意得
h 2 4 ( 1 3 h + 2 15 ) = 5 4 ⇒ h = 2 , h = 1 3 \frac{h^{2}}{4\left(\frac{1}{3}h+ \frac{2}{15}\right)}= \frac{5}{4}\Rightarrow h=2,h=\frac{1}{3} 4(31h+152)h2=45h=2,h=31

用Python的matplotlib绘图感觉有点麻烦,个人也没研究明白,暂时用GeoGebra绘图代替一下,所以最近的笔记绘图不会给出源代码了,如果有需要可以私信要一下GeoGebra源文件

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