概率 | 考研 —— 复习知识点及方法 大总结
自用笔记框架整理。
整理参考于 2023版宇哥概率论与数理统计9讲
周洋鑫视频课程
一、随机事件和概率
- 古典概型求概率
- 随机分配问题
- 每盒容纳任意多个质点
- 每盒容纳至多一个质点
- 简单随机抽样问题
- 先后有放回
- 先后无放回取k个球 = 任取k个球
- 随机分配问题
- 几何概型求概率
- 重要公式求概率
- 用对立
- 用互斥
- 用独立
- 用条件
- 用不等式或包含
- 用最值
- 用对立
- 事件的独立性
二、一维随机变量及其分布
- 判分布
- 随机变量及其分布函数的定义
- 分布函数（三个条件）
- 概率分布
- 概率密度
- 反问题
- 求分布
- 离散型
- 0-1、二项、几何、超几何、泊松
- 二项分布中：极值
- 泊松定理
- 0-1、二项、几何、超几何、泊松
- 连续型
- 均匀、指数、正态
- 混合型分布（定义法）
- 离散型
- 用分布
一维随机变量函数的分布（分布函数等号跟大于号，概率密度不要等号）
- 离散型 → 离散型
- 连续型 → 连续型(混合型)
- 分布函数法（画出X和Y的关系图注意X的定义域 ，求出曲线在直线下方的X的取值范围，分段积分）
- 公式法（y是x的严格单调可导函数）
- 连续型 → 离散型
-
三、多维随机变量及其分布
- 判分布
- 求分布：连续型 首先画出联合密度的有效区域
- 求联合分布
- 连续型：画出积分区域，左下即为所求，分情况讨论。
- 连续型：画出积分区域，左下即为所求，分情况讨论。
- 求边缘分布
- 求谁不积谁（求X概率密度就积y)，不积先定限，限内画条线（平行于d什么），先交为下限，后交为上限。
- 求条件分布；连续型注意分母大于0！
- 求联合分布
- 判独立
- 用分布
多维随机变量函数（实质上是一维随机变量）的分布
- 多维 → 一维
- （离散型，离散型）→ 离散型 —— 必须已知联合分布律
- （连续型，连续型）→ 连续型
- 分布函数法 F：画X Y定义域 将Z视为常数，讨论积分区域，进行二重积分。
- 卷积公式法 f【积谁不换谁，换完对其求偏导】：换字母 换区域 背口诀 + 求谁不积谁，不积先定限，限内画条线（平行于d什么），先交为下限，后交为上限。
- 最值分布
- 分布函数法 F：画X Y定义域 将Z视为常数，讨论积分区域，进行二重积分。
- （离散型，连续型）→ 连续型
- 独立：分布函数法 + 全概率公式【端点放在有效区间段内讨论】
- 不独立：分布函数法 找等价事件
- 判断是否独立：
- 独立：分布函数法 + 全概率公式【端点放在有效区间段内讨论】
- 一维 → 多维
四、随机变量的数字特征
- 数学期望
- 方差
- 常用的EX、DX
- 协方差 COV(X,Y) 随机变量之间偏差的关联程度；相关系数 ρ 随机变量之间线性相关程度
- 协方差：随机变量之间偏差的关联程度，相关系数：随机变量之间线性相关程度
- 判断独立用分布（联合分布律，联合概率密度，定义法 P(AB)=PA · PB ）
- 判断相关用数字特征
- 独立性与不相关性
五、大数定律与中心极限定理 —— n趋向∞
- 依概率收敛
- 切比雪夫不等式 —— 一个人 【相互独立；方差一致有上界】
- 大数定律的本质 —— 独立
- 中心极限定理的本质 —— 【独立同分布、期望、方差均存在】
六、统计量及其分布
- 概念
- 统计量（样本的函数）【随机变量】
- E(S^2) = DX
- 四大分布
- 正态总体下的常用结论
七、参数估计与假设检验
- 点估计 —— 矩估计
- 点估计 —— 最大似然估计：样本共同发生的概率是最大的
- 估计量的评选标准
- 区间估计
- 置信区间
- step1:选数轴变量
- step2:根据置信度，造大概率事件
- step3:解置信区间
- 置信区间
- 假设检验：小概率事件一般不发生
- 正态总体假设检验的方法步骤
- step1:根据问题提出假设
- step2:选取检验统计量
- step3:根据显著性水平确定拒绝域
- step4:代入样本进行检验
- 第一类错误：弃真
- 第二类错误：纳伪
整理参考于 2023版宇哥概率论与数理统计9讲
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