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14天机器学习DAY1-5｜线性回归原理小结

news 来源：原创 2024/9/29 18:31:00

14天阅读挑战赛
努力是为了不平庸~
线性回归是机器学习中最基本的问题类型，熟练掌握线性回归问题也是为以后掌握机器学习打下坚实基础!

1.线性回归的模型函数和损失函数

2.线性回归的算法

3.线性回归的推广：多项式回归

4.线性回归的推广：广义线性回归

5.线性回归的正则化

1.线性回归的模型函数和损失函数

线性回归遇到的问题一般是这样的。我们有m个样本，每个样本对应于n维特征和一个结果输出，如下： $(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},... x_{n}^{(0)},y_{0})$ , $(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},... x_{n}^{(1)},y_{1})$ ,... $(x_{1}^{(m)},x_{2}^{(m)},... x_{n}^{(m)},y_{m})$

我们的问题是，对于一个新的 $(x_{1}^{(x)},x_{2}^{(x)},... x_{n}^{(x)},y_{x})$ ，他所对应的 $y_{x}$ 是多少？如果这个问题里面的y是连续的，则是一个回归问题，否则是一个分类问题。

对于n维特征的样本数据，如果我们决定使用线性回归，那么对应的模型是这样的：

$h_{\theta }(x_{1},x_{2},...x_{n})=\theta _{0}+\theta _{1}x _{1}+\cdot \cdot \cdot +\theta _{n}x_{n}$ ,其中 $\theta _{i}$ （i=0,1,2...n）为模型参数， $x_{i}$ （i=0,1,2...n）为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征 $x_{0}$ =1，这样 $h_{\theta }(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum_{i=0}^{n}\theta _{i}x_{i}$

进一步用更加简洁的矩阵形式表达： $h_{\theta }(X)=X\theta$ ，其中，假设函数 $h_{\theta }(X)$ 为m*1的向量， $\theta$ 为n*1的向量，里面有n个代数法的模型参数。X为m*n维的矩阵，m代表样本的个数，n代表样本的特征数。

得到模型之后，我们需要求出损失函数，一般线性回归中，我们用均方误差作为损失函数，先写出损失函数的代数表示形式，然后再写出矩阵形式。由于矩阵表达简洁，后面我们将统一采用矩阵方式表达模型函数和损失函数。

2.线性回归的算法

对于线性回归的损失函数式(2)，我们常用两种方法来求损失函数最小化时的 $\theta$ 参数：第一种是梯度下降法，第二种是最小二乘法，公式如下；当然线性回归还有其他的常用算法，如牛顿法和拟牛顿法。

"递"改"梯"

3.线性回归的推广：多项式回归

回到最开始的线性模型 $h_{\theta }(x_{1},x_{2},...x_{n})=\theta _{0}+\theta _{1}x _{1}+\cdot \cdot \cdot +\theta _{n}x_{n}$ ，如果这里不仅仅是x的一次方，比如扩大至二次方，那么模型就变成了多项式回归。我们写出只有两个特征的二次方多项式回归的模型：

可以发现，我们又重新回到了线性回归，这是一个五元线性回归，可以用线性回归的方法来完成算法。对于每个二元样本特征 $(x_{1},x_{2})$ ,我们得到一个五元样本特征： $(1,x_{1},x_{2},x_{1}^{2},x_{2}^{2},x_{1}x_{2})$ ,通过这个改进后的五元样本特征，我们重新把不是线性回归的函数又变为线性回归的函数。

4.线性回归的推广：广义线性回归

在上一节的线性回归的推广中，我们对样本特征 $x$ 做了推广，这里我们对于特征 $y$ 做推广。比如我们输出 $Y$ 不满足和 $X$ 的线性关系，但是 $lnY$ 和 $X$ 满足线性关系，模型函数如下：

$lnY=X\theta$ ；

这样对于每个样本的输入 $y$ ，我们用 $lny$ 去对应，从而仍然可以用线性回归的算法去处理这个问题。我们把 $lnY$ 一般化，假设这个函数是单调可微函数 $g(\cdot )$ ,则一般化的广义线性回归形式是： $g(Y)=X\theta$ 或者 $Y=g^{-1}(X\theta )$ ,这个函数 $g(\cdot )$ 我们通常称为联系函数。

5.线性回归的正则化

为了防止模型的过拟合，我们建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。

线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个常数系数 $\alpha$ 来调节损失函数的均方差和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下：

Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。

Lasso回归的求解办法一般有坐标轴下降法（coordinate descent）和最小角回归法（ Least Angle Regression），由于它们比较复杂，我会单独一篇讲述!

下标的1放到外面

线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和Lasso回归的区别是Ridge回归的正则化项是L2的范数，而Lasso回归的正则化项是L1的范数，具体Ridge回归的损失函数表达式如下：

Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征保留的特别多，模型解释性差。

Ridge回归的求解比较简单，一般用最小二乘法。这里给出用最小二乘法的矩阵推导形式，和普通线性回归类似。