【数据结构】堆和优先级队列
目录
一、堆
1.1堆的特点
1.2如何构造一个最大堆
（1）最大堆的构造以及常用方法的实现
（2）添加操作
（3）删除操作
（3）将任意数组调整为堆
二、TopK问题
2.1使用优先级队列
（1）找最大元素
（2）找最小元素
优先级队列：入队和队列是一样的默认都是队尾入队，出队的时候按照优先级出队，优先级相同的元素按照FIFO出队，优先级高的元素首先出队。
优先级队列的两大特点：
（1）按照优先级出队。
（2）优先级高的元素首先出队。
一、堆
堆是优先级队列背后的数据结构。
我们此处讲得堆其实是二叉堆，基于完全二叉树的二叉堆，广义的堆还有多叉堆（多叉树）。
还有索引堆，普通的对只知道堆顶元素的大小，索引堆可以取得堆中任意位置元素=》在图的最小生成树prim算法和最短路径Diijkstra算法的优化中使用索引堆。
1.1堆的特点
（1）堆首先是完全二叉树，一般使用动态数组（不用存储null结点，元素都靠左排序）存储具体元素。
（2）元素元素的值：
堆中任意一个节点的值<=父节点值（最大堆/大根堆）数据结点>=子树节点。
堆中任意一个节点的值>=父节点值（最小堆/小根堆）数据结点<=子树节点，JDK中的优先级队列默认是最小堆的实现。
在堆中，结点值的大小和节点所处的层次没有明确关系。
关于完全二叉树的节点编号：根据编号以及索引关系，在数据中寻找某一个结点的子节点与父节点编号和索引位置，都从0开始编号，若某个节点的编号（索引）为x。
性质1：判断父节点：
如何判定父结点存在，若存在，索引是多少？parent（x） = （x-1）/2。
当x>0，则一定存在父节点（在二叉树中，只有根节点（根节点索引为0）没有父节点），且父节点的编号为（x-1）/2。
性质2：判断左子树结点
如何判断当前节点x还存在左子树结点？左子树结点编号是多少》
当前完全二叉树的结点个数<=数组最大长度，左子树结点编号为2x+1<size（当前数组种有效的元素个数）。
性质3：判断右子树结点：
右子树结点编号为2x+2<size。
1.2如何构造一个最大堆
（1）最大堆的构造以及常用方法的实现
创建一个线性表的数组，然后创建一个int类型的size来判断存储了多少个数据。
默认状态数组长度为10，也可以通过有参构造自定义数组的长度。
创建三个判断父节点左右节点坐标的方法以及判空方法和输出方法。
public class MaxHeap {
private List<Integer> arr;
private int size;
public MaxHeap() {
this(10);
}
public MaxHeap(int capacity) {
this.arr = new ArrayList<>(capacity);
}
private int parent(int k){
return (k-1)>>1;
}
private int leftChild(int k){
return (k<<1)+1;
}
private int rightChild(int k) {
return (k << 1) + 2;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
public String toString() {
return arr.toString();
}
}（2）添加操作
尾插方法很简单直接调用线性表的add方法即可，然后size++，在调用我们的siftUp方法。
任意数组都可以看做一颗完全二叉树，因此向堆中插入一个数据，就相当于在数组中插入一个数据（默认尾插）。
siftUp（上浮）不断比较插入后的元素和其父节点的值大小关系，若当前节点值>父节点值，交换他俩元素顺序，直到这个元素落在了正确位置。结束条件：要么此时k==0，已经走到了树根节点，要么此刻arr[k]<=arr[parent[k]]，当前上浮操作结束。
在创建一个swap方法，用来调换两个元素。
public void add(int val){
this.arr.add(val);
size++;
siftUp(size - 1);
}
private void siftUp(int k) {
while(k>0&&arr.get(k)>arr.get(parent(k))){
swap(k,parent(k));
k = parent(k);
}
}
private void swap(int i, int j) {
int temp = arr.get(i);
arr.set(i,arr.get(j));
arr.set(j,temp);
}
public static void main(String[] args) {
MaxHeap heap = new MaxHeap();
heap.add(17);
heap.add(11);
heap.add(3);
heap.add(2);
heap.add(5);
System.out.println(heap);
heap.add(20);
System.out.println(heap);
}
一开始创建好的堆如下。
然后要向尾部加入一个元素20。
然后调用siftUp方法，先将20与它的父结点值进行比较发现20更大那么就调用swap进行交换。
然后继续比较父节点的值，发现还是20更大继续交换。
到这时20已经没有父节点了，所以插入操作就结束了。
（3）删除操作
extractMax()：移除当前堆的最大值并返回。
最大堆的最大值在堆顶，删除树根之后，为了对其他子树影响最小，将数组的最后一个元素顶到当前二叉树的堆顶=》这个二叉树仍然是一颗完全二叉树。
需要进行运算的下沉操作siftDown，不断比较当前元素和子节点的最大值的关系，不断交换当前元素和子树的最大值，直到落到正确的位置。也有两个终止条件：1、此时元素已经落到了叶子结点）没有子树了。2、arr[k] >= arr[child[k]]，大于左右子树的最大值，落在最终位置。
实际删除的也是数组的最后一个元素。
peekMax()：查看当前最大堆的最大值元素。
public int extractMax(){
if (isEmpty()) {
throw new NoSuchElementException("heap is empty!cannot extract!");
}
int k = arr.get(0);
arr.set(0,arr.get(size-1));
arr.remove(size-1);
size--;
siftDown(0);
return k;
}
private void siftDown(int k) {
while (leftChild(k) <size){
int j = leftChild(k);
if(j+1<size&&arr.get(j+1)>arr.get(j)){
j = j+1;
}
if(arr.get(k)>=arr.get(j)){
break;
}else{
swap(k,j);
k = j;
}
}
} public static void main(String[] args) {
MaxHeap heap = new MaxHeap();
heap.add(3);
heap.add(2);
heap.add(5);
heap.add(17);
heap.add(11);
System.out.println(heap);
heap.add(20);
System.out.println(heap);
System.out.println(heap.extractMax());
System.out.println(heap);
}
一开始插入操作得到的堆如下：
然后删除根节点，将最后一个元素补上。
然后比较根节点3的左右子树获取最大值与根节点进行比较，右子树更大并且比根节点还打所以两个位置交换。
这时3已经是叶子结点不能再继续比较，所以删除操作结束。
（3）将任意数组调整为堆
因为任意数组都可以看做是一棵完全二叉树，将完全二叉树进行适当的调整就可以得到一个堆。
从最后一个非叶子节点 开始进行元素的siftDown操作，直到根节点。（最后一个叶子节点的父节点就是最后一个非叶子节点）。
空间复杂度为O（n）。
public MaxHeap(int[] num){
this.arr = new ArrayList<>();
for(int i:num){
arr.add(i);
size++;
}
for (int i = parent(size-1);i>=0;i--){
siftDown(i);
}
} public static void main(String[] args) {
int[] num = {3,2,17,11,20,5};
System.out.println(new MaxHeap(num));
}
二、TopK问题
在一组非常大的数组中，找出前k个最大/最小的元素。
最能想到的方法就是先降序，然后依次取出前50个元素即可。时间复杂度是O（nlogn）。
2.1使用优先级队列
8字口诀：取大用小，取小用大。
这类问题的难点在于如何自定义“大小关系”，巧妙自定义类来定义大小关系，所有的TopK问题都可以使用相同的思路解决。
（1）找最大元素
如果是在100w个数据中心，找出前50个最大的元素。
就建立一个大小为50的最小堆，不断使用最小堆扫描整个数组，扫描完毕之后，最小堆中恰好能保存前50个最大元素。
1、当堆中元素<k，扫描元素直接保存到堆中。
2、当堆中元素个数>=k时，不断比较当前扫描的元素和堆顶元素的情况。
若当前扫描的元素<=堆顶元素，则这个元素小于当前堆中所有元素，直接跳过，一定不是要找的值。若扫描元素>堆顶元素，将堆顶元素移除，将当前元素添加到堆中。
扫描过程中不断地把最小堆的堆顶元素替换为越来越大的值。
3、当整个集合扫描完毕，堆中一定保存了最大的k各元素。
首先用前k各元素创建一个最小堆。
然后走到元素9，比对顶元素大，则出队，然后入队。
然后走到元素7，比对顶元素大，则出队，然后入队。
然后走到元素6，比对顶元素大，则出队，然后入队。
再走到元素2，比堆顶元素小则直接不入队，下一个元素5同理。然后走到元素8，比对顶元素大，则出队，然后入队。
然后最后一个元素10，比对顶元素大，则出队，然后入队。到此优先级队列中的三个元素就是这10个元素里的前3个最大元素。
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1,4,3,9,7,6,2,5,8,10};
int k = 3;
Queue<Integer> queue = new PriorityQueue<>();
for(int i : arr){
if(queue.size()<k){
queue.offer(i);
}else{
int top = queue.peek();
if(i>top){
queue.poll();
queue.offer(i);
}
}
}
System.out.println(queue);
}
第二种解法：直接让所有的元素逐渐入队，如果queue长度超过k，就直接poll，就是移除对顶元素，也是扔出最小的元素，仍然留下k个元素。
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1,4,3,9,7,6,2,5,8,10};
int k = 3;
Queue<Integer> queue = new PriorityQueue<>();
for(int i : arr){
queue.offer(i);
if(queue.size()>k){
queue.poll();
}
}
System.out.println(queue);
}
（2）找最小元素
就需要用到之前讲过的比较器，将JDK中默认的最大堆改为最小堆。
其他的都和最小堆的使用一样。
class IntDesc implements Comparator<Integer>{
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2-o1;
}
}
public class TopKTest {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1,4,3,9,7,6,2,5,8,10};
int k = 3;
Queue<Integer> queue = new PriorityQueue<>(new IntDesc());
for(int i : arr){
queue.offer(i);
if(queue.size()>k){
queue.poll();
}
}
System.out.println(queue);
}
}
更快的方法就是使用快速排序，可以在O（n）的时间复杂度找到k个元素。