Python流感常微分方程房室数学模型
🎯要点
🎯房室数学模型：🖊常微分方程推理模型 | 🖊模型求解条件：静态人口、混合均匀分布、感染率相同、健康免疫力 | 🖊绘制模型表征接近平衡相图 | 🖊计算模型随时间变化有效传染数 | 🖊计算免疫力衰减率 | 🖊计算反复感染和传染性关系模型 | 🖊计算病毒携带者模型 | 🖊计算低传染性。🎯宿主模型：🖊计算风险异质人群 | 🖊计算接触网络混合矩阵 | 🖊年龄异质性耦种群变化 | 🖊感染矩阵模型推理。🎯病原体模型：🖊疟疾传播常微分方程模型 | 🖊绘制模型单相剖面流图 | 🖊媒介传播疾病推理 | 🖊人畜共患疾病模型。🎯病原体动力学：🖊无共感染无交叉免疫微分方程模型。🎯疫苗建模 | 🎯流感时间动态平衡态和稳定性分析 | 🎯流感空间动态晶格模型。
🎯常微分方程-用例：Python机器人动力学和细胞酶常微分方程。
🍇Python欧拉法求解一般流感常微分方程模型
这些模型通常使用常微分方程（确定性）运行，但也可以与随机框架一起使用，这种框架更现实，但分析起来要复杂得多。
此类模型可以预测诸如疾病如何传播、感染总数或流行病持续时间之类的事情，并估计各种流行病学参数，如再生数。 还可以显示不同的公共卫生干预措施如何影响流感的结果，例如，在特定人群中发放有限数量的疫苗的最有效技术是什么。
模型参数假设：
- 平均而言，群体中的 S S S个体每单位时间会遇到 β \beta β个体。
- 每单位时间离开房室 I I I的感染者的比率是 γ \gamma γ I I I（一旦一个人被感染，他就会对该疾病产生免疫力）。
- 人口规模 N = S + I + R N=S+I+R N=S+I+R是恒定的
这是模型的方程组：
{ d S d t = − β S N I d I d t = β S N I − γ I , d R d t = γ I . \left\{\begin{array}{l} \frac{ d S}{ d t}=-\frac{\beta S}{N} I \\ \frac{ d I}{ d t}=\frac{\beta S}{N} I-\gamma I, \\ \frac{ d R}{ d t}=\gamma I . \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧dtdS=−NβSIdtdI=NβSI−γI,dtdR=γI.
模型图示：
问题公式化
X = ( S I R ) X=\left(\begin{array}{l} S \\ I \\ R \end{array}\right) X= SIR
微分系统写为：
X ˙ = ( − β S N I β S N I − γ I γ I ) = f ( X ) \dot{X}=\left(\begin{array}{c} -\frac{\beta S}{N} I \\ \frac{\beta S}{N} I-\gamma I \\ \gamma I \end{array}\right)=f(X) X˙= −NβSINβSI−γIγI =f(X)
💦通用方法求解
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import pandas as pd
import numba
from scipy import integrate
💦给定相应数据：
N = 350.
I0, R0 = 1., 0
S0 = N - I0 - R0
beta, gamma = 0.4, 0.1
tmax = 160
Nt = 160
t = np.linspace(0, tmax, Nt+1)
💦定义微分函数：
def derivative(X, t):S, I, R = XdotS = -beta * S * I / NdotI = beta * S * I / N - gamma * IdotR = gamma * Ireturn np.array([dotS, dotI, dotR])
X0 = S0, I0, R0 #Initial conditions vector
res = integrate.odeint(derivative, X0, t)
S, I, R = res.T
Seuil = 1 - 1 / (beta/gamma)
Seuil
0.75
绘制个体疑似感染、感染和恢复趋势图：
plt.figure()
plt.grid()
plt.title("odeint method")
plt.plot(t, S, 'orange', label='Susceptible')
plt.plot(t, I, 'r', label='Infected')
plt.plot(t, R, 'g', label='Recovered with immunity')
plt.xlabel('Time t, [days]')
plt.ylabel('Numbers of individuals')
plt.ylim([0,N])
plt.legend()plt.show();
💦欧拉法求解：
def Euler(func, X0, t):dt = t[1] - t[0]nt = len(t)X = np.zeros([nt, len(X0)])X[0] = X0for i in range(nt-1):X[i+1] = X[i] + func(X[i], t[i]) * dtreturn X
Nt = 100
Xe = Euler(derivative, X0, t)
plt.figure()plt.title("Euler method")
plt.plot(t, Xe[:,0], color = 'orange', linestyle = '-.', label='Susceptible')
plt.plot(t, Xe[:,1], 'r-.', label='Infected')
plt.plot(t, Xe[:,2], 'g-.', label='Recovered with immunity')
plt.grid()
plt.xlabel("Time, $t$ [s]")
plt.ylabel("Numbers of individuals")
plt.legend(loc = "best")plt.show();