【数据结构】详解堆排序当中的topk问题（leetcode例题）

前言

Leetcode相关题目：215. 数组中的第K个最大元素

如何理解topk问题

**Top K 问题是一个经典的问题，在计算机科学中，它的目标是在一组数据中找到前 K 个最大或最小的元素。**这个问题在许多场景下都很重要，比如搜索引擎的搜索结果排名、数据分析中的热门元素筛选等。
.
在最简单的形式中，给定一个数组（或列表）和一个整数 K，Top K 问题要求返回数组中最大的 K 个元素。例如，如果数组是 [4, 2, 9, 6, 23, 12]，而 K = 3，那么答案应该是 [23, 9, 12]，因为它们是前三个最大的元素。
.
在C语言中，我们可以使用优先队列（堆）或者快速选择等算法来解决Top K问题。堆是一种特殊的树形数据结构，其中每个父节点的值都大于或等于（对于最大堆）/小于或等于（对于最小堆）其子节点的值。堆排序就是基于堆的排序方法，我们可以利用堆的特性来快速找到最大或最小的元素。

当我们第一次接触这个问题时，我们会想到的方法可能是：

将这个数组建堆，进行堆排序调整为大根堆，然后再取出栈顶的前k个元素就是最大的前k个元素；
可如果我们在这个问题的前提下，再加入几个限制条件：例如
1.改变查找的数据个数——例如：在七千万个数据中找；
2.我们限制程序在执行时的内存空间——让你在1MB的空间里去找这七千万个数据中最大的前十个；

在这两个限制下，我们再去直接使用堆排序是不现实的，所以我们需要用一种更巧妙地方式，但代码的本质上仍然不离开堆排序；

代码逻辑

对于Top K问题，我们首先创建一个最大堆（或最小堆），然后依次将数组中的元素插入堆中。由于堆的性质，每次插入都会保证堆顶元素是最大的。当我们插入 K 个元素后，堆顶的 K 个元素就是我们想要的结果。如果数组中有多个相同的最大元素，堆可能包含多个相同的元素，但这不影响找到前 K 个最大元素。

如果你需要找到最小的 K 个元素，只需在创建堆时使用最小堆即可

解决Top K问题的常见方法主要有以下几种：
. . . .1.堆排序（Heap-based method）：这是最常见的方法，使用最大堆（或最小堆）来存储前 K 个元素。首先将所有元素插入堆中，保持堆的性质，然后每次从堆顶取出最大（或最小）元素，将其与数组末尾的元素交换，同时减小堆的大小。重复此过程直到堆的大小为 K。这种方法的时间复杂度为 O(N log K)，空间复杂度为 O(K)。

. . . .2.快速选择（QuickSelect）：这是一种基于分治的随机化算法，适用于大规模数据。基本思想是选取一个“随机”点，然后根据该点将数组分为两部分，使得左边的所有元素都小于或等于该点，右边的所有元素都大于该点。如果点恰好是第 K 大（或小）的元素，那么就找到了答案。否则，根据点的位置在左子数组或右子数组中递归查找。快速选择的平均时间复杂度为 O(N)，但最坏情况下为 O(N^2)。

. . . . 3.计数排序（Counting Sort）：当数据范围较小且非负时，可以使用计数排序。通过统计每个元素出现的次数，然后直接得到前 K 个元素。这种方法的时间复杂度为 O(N + K)，但要求数据范围知道并且较小。

. . . .4.使用哈希表（Hash-based method）：对于特定的问题，如在流式数据中实时找出 Top K 的元素，可以使用哈希表来跟踪最近的 K 个最大值。每当有新数据到来时，检查是否比当前第 K 小的值还大，如果是，则替换掉最小的那个，并更新哈希表。这种方法的时间复杂度取决于哈希表的操作，通常为 O(1) 或 O(log K)。

. . . .5,使用平衡二叉搜索树（Balanced BST）：例如AVL树或红黑树，可以在 O(log N) 时间内插入和删除元素，从而找到 Top K 元素。但是，插入和删除操作可能会导致树的不平衡，因此维护平衡性是关键。

在这里我们通过堆排序的方法来讲解topk问题；

代码实现

//使用数组的前k个元素构造含有k个元素的小根堆
//从k+1开始遍历，每次和堆顶元素比较，若被遍历到的元素大于堆顶元素，则替换堆顶元素并调整堆，保证堆内的k个元素总是当前最大的k个元素。
void CreateNDate()
{// 造数据int n = 100000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x = (rand()+i) % 10000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}void TestHeap3()
{int k;printf("请输入k>:");scanf("%d", &k);int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (kminheap == NULL){perror("malloc fail");return;}const char* file = "data.txt";FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}// 读取文件中前k个数for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &kminheap[i]);}// 11:51继续// 建K个数的小堆for (int i = (k-1-1)/2; i>=0 ; i--){AdjustDown(kminheap, k, i);}// 读取剩下的N-K个数int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) > 0){if (x > kminheap[0]){kminheap[0] = x;AdjustDown(kminheap, k, 0);}}printf("最大前%d个数：", k);for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", kminheap[i]);}printf("\n");
}

在这段代码中：

1.函数 CreateNDate()
这个函数用于生成包含 100000 个随机整数的数据文件（data.txt）。首先，它设置随机数种子以确保每次运行时生成不同的随机数序列。
使用 srand(time(0)) 设置随机数种子，time(0) 获取当前时间作为随机数源。
定义文件名 file 和尝试打开文件以写入数据，如果失败，输出错误信息并返回。
使用 for 循环生成随机数，并使用 fprintf 将每个数写入文件，每行一个。
最后，关闭文件。

2.函数 TestHeap3()
用户输入要查找的最小值数量 K。
分配一个大小为 K 的整型数组 kminheap 用于存储前 K 个最小值，如果分配失败，输出错误信息并返回。
读取刚刚生成的数据文件（data.txt）中的前 K 个数，存储在 kminheap 中。
对 kminheap 进行堆化操作（从最后一个非叶子节点开始，调用 AdjustDown 函数），使其成为最小堆。
遍历文件中的剩余数字，如果新读取的数字大于堆顶（最小值），则替换堆顶，并再次调整堆，保持堆的性质。
输出找到的前 K 个最小值。