分数布朗运动FBM期权定价模型
BS定价模型和蒙特卡洛模拟期权定价方法都 假设标的资产价格的对数服从布朗运动 ． 但是实际
的金融市场中标的资产价格运动过程具有 “尖峰厚尾 ” 现象 ， 运用分数布朗运动 （FBM ）来刻画标的资产 价格的运动过程可能更加合适。
分数布朗运动属于高斯过程，它不再具备马尔 科夫性 ， 但具有长程相依性 、 自相似性与 “ 尖峰厚尾 ”
等特性。 这些良好的性质使其能够更好地描述金 融资产价格的运动 ．标的资产价格服从几何分数布朗运动，即：
分数布朗运动环境下的欧式期 权定价公式如下所示 ：
Ｈ 为赫斯特指数。
在FBM模型中，除了需要计算Hurst指数外，期权的波动率这一参数也是不确定的，可以使用标的资产的历史波动率，也可以使用其他方法构建波动率，比如期权隐含波动率、GARCH模型，ANN神经网络模型，LSTM神经网络模型等方法。
本文以上证50ETF期权的高频数据为基础，采用历史波动率，隐含波动率，ANN神经网络模型预测波动率，GARCH模型预测波动率与LSTM神经网络预测波动率进行建模分析。
误差分析如下：
BS模型测试集的mape: 0.025498904260894354 rmse: 0.01623017718454793 mae: 0.012910245809689753 MSE: 0.00026341865144182026
FBM模型（历史波动率）mape: 0.009079235978680694 rmse: 0.004610131979118416 mae: 0.003775415891465037 MSE: 2.1253316864890258e-05
FBM模型（LSTM神经网络模型波动率）mape: 0.007944398055190217 rmse: 0.004060476075836374 mae: 0.0033210511998671673 MSE: 1.6487465962439565e-05