当前位置：首页 > news >正文

算法体系-22 第二十二节：暴力递归到动态规划（四）

news 来源：原创 2024/9/30 7:26:50

一最小距离累加和

1.1 描述

给定一个二维数组matrix，一个人必须从左上角出发，最后到达右下角

沿途只可以向下或者向右走，沿途的数字都累加就是距离累加和

返回最小距离累加和

1.2 分析

左边是原始矩阵，右边是我要的dp矩阵

下边的第一行和第一列只能从左往右和从上到下来

1.3 代码

    public static int minPathSum1(int[][] m) {if (m == null || m.length == 0 || m[0] == null || m[0].length == 0) {return 0;}int row = m.length;int col = m[0].length;int[][] dp = new int[row][col];dp[0][0] = m[0][0];for (int i = 1; i < row; i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][0] + m[i][0];}for (int j = 1; j < col; j++) {dp[0][j] = dp[0][j - 1] + m[0][j];}for (int i = 1; i < row; i++) {for (int j = 1; j < col; j++) {dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + m[i][j];}}return dp[row - 1][col - 1];}

1.4 优化（空间压缩技巧）

空间优化，下一个只需要上一个就可以推出来来，下边的拿到了就把上边是释放掉

一个数组自我更新

1.5 优化代码

    public static int minPathSum2(int[][] m) {if (m == null || m.length == 0 || m[0] == null || m[0].length == 0) {return 0;}int row = m.length;int col = m[0].length;int[] dp = new int[col];dp[0] = m[0][0];for (int j = 1; j < col; j++) {dp[j] = dp[j - 1] + m[0][j];}for (int i = 1; i < row; i++) {dp[0] += m[i][0];for (int j = 1; j < col; j++) {dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + m[i][j];}}return dp[col - 1];}

1.6 规律总结空间压缩技巧

1.6.1 依赖上和左上的情况，0行的值可以算出来，从第一行开始从右开始更新

我的当前位置的上就是上的位置，左边的就是左上的值

1.6.1 依赖上，左上和左的情况

第0行的值可以算出来

第0列的也可以算出来

下面更新非0行0列的情况例如 b计算b一匹

差左上的情况当计算第0列的情况往回写进a的时候，拿一个临时变量把上一个记住，b一匹就可以计算了左上是临时变量+左+右，当把b一匹往回写的时候，临时上次记录的a改为记录b，这个临时变量跟着从左往右走

上面的情况至少得准备列的长度的数组

如 n x m的矩阵要准备m的长度数组，假如4行100万列怎么办，就反过来准备4个长度的数组

当列比较短的情况用列的数组去更新，当行比较短的情况用行的数组来更新

二 arr = {1,1,1}，aim = 2 （从左往右模型尝试模型）

2.1 描述

arr是货币数组，其中的值都是正数。再给定一个正数aim。

每个值都认为是一张货币，

即便是值相同的货币也认为每一张都是不同的，

返回组成aim的方法数

例如：arr = {1,1,1}，aim = 2

第0个和第1个能组成2，第1个和第2个能组成2，第0个和第2个能组成2

一共就3种方法，所以返回3

2.2 分析尝试递归模型

2.3 代码

    public static int coinWays(int[] arr, int aim) {return process(arr, 0, aim);}// arr[index....] 组成正好rest这么多的钱，有几种方法public static int process(int[] arr, int index, int rest) {if (rest < 0) {return 0;}if (index == arr.length) { // 没钱了！return rest == 0 ? 1 : 0;} else {return process(arr, index + 1, rest) + process(arr, index + 1, rest - arr[index]);}}

2.4 改动态规划

2.5 动态规划代码

public static int dp(int[] arr, int aim) {if (aim == 0) {return 1;    }int N = arr.length;    int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];    dp[N][0] = 1;    for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {dp[index][rest] = dp[index + 1][rest] + (rest - arr[index] >= 0 ? dp[index + 1][rest - arr[index]] : 0);       }}return dp[0][aim];}

三 arr是面值数组，其中的值都是正数且没有重复。再给定一个正数aim。（从左往右模型）

3.1 描述

arr是面值数组，其中的值都是正数且没有重复。再给定一个正数aim。

每个值都认为是一种面值，且认为张数是无限的。

返回组成aim的方法数

例如：arr = {1,2}，aim = 4

方法如下：1+1+1+1、1+1+2、2+2

一共就3种方法，所以返回3

3.2 分析

因为每一种面值有无数张，到每个index的时候就会叉出无数分支

3.3 尝试代码

    public static int coinsWay(int[] arr, int aim) {if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {return 0;}Info info = getInfo(arr);return process(info.coins, info.zhangs, 0, aim);}// coins 面值数组，正数且去重// zhangs 每种面值对应的张数public static int process(int[] coins, int[] zhangs, int index, int rest) {if (index == coins.length) {return rest == 0 ? 1 : 0;}int ways = 0;for (int zhang = 0; zhang * coins[index] <= rest && zhang <= zhangs[index]; zhang++) {ways += process(coins, zhangs, index + 1, rest - (zhang * coins[index]));}return ways;}

3.4 有重复解

3.5 动态规划代码（？下面有话动态规划二的版本的动态规划逻辑再理解这个是通过画图标观察来的）

之前的题目求单独的每个格子没有for循环都是o(1)，但是在这里求每个格子都得弄一个for循环

for (int zhang = 0; zhang * coins[index]

ways += dp[index + 1][rest - (zhang * coins[index])];

}

public static int dp1(int[] arr, int aim) {if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {return 0;}Info info = getInfo(arr);int[] coins = info.coins;int[] zhangs = info.zhangs;int N = coins.length;int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];dp[N][0] = 1;for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {int ways = 0;for (int zhang = 0; zhang * coins[index] <= rest && zhang <= zhangs[index]; zhang++) {ways += dp[index + 1][rest - (zhang * coins[index])];}dp[index][rest] = ways;}}return dp[0][aim];}public static int dp2(int[] arr, int aim) {if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {return 0;}Info info = getInfo(arr);int[] coins = info.coins;int[] zhangs = info.zhangs;int N = coins.length;int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];dp[N][0] = 1;for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {dp[index][rest] = dp[index + 1][rest];if (rest - coins[index] >= 0) {dp[index][rest] += dp[index][rest - coins[index]];}if (rest - coins[index] * (zhangs[index] + 1) >= 0) {dp[index][rest] -= dp[index + 1][rest - coins[index] * (zhangs[index] + 1)];}}}return dp[0][aim];}// 为了测试public static int[] randomArray(int maxLen, int maxValue) {int N = (int) (Math.random() * maxLen);int[] arr = new int[N];for (int i = 0; i < N; i++) {arr[i] = (int) (Math.random() * maxValue) + 1;}return arr;}// 为了测试public static void printArray(int[] arr) {for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}// 为了测试public static void main(String[] args) {int maxLen = 10;int maxValue = 20;int testTime = 1000000;System.out.println("测试开始");for (int i = 0; i < testTime; i++) {int[] arr = randomArray(maxLen, maxValue);int aim = (int) (Math.random() * maxValue);int ans1 = coinsWay(arr, aim);int ans2 = dp1(arr, aim);int ans3 = dp2(arr, aim);if (ans1 != ans2 || ans1 != ans3) {System.out.println("Oops!");printArray(arr);System.out.println(aim);System.out.println(ans1);System.out.println(ans2);System.out.println(ans3);break;}}System.out.println("测试结束");}}

四 arr是货币数组，其中的值都是正数。再给定一个正数aim。

4.1 描述

arr是货币数组，其中的值都是正数。再给定一个正数aim。

每个值都认为是一张货币，

认为值相同的货币没有任何不同，

返回组成aim的方法数

例如：arr = {1,2,1,1,2,1,2}，aim = 4

方法：1+1+1+1、1+1+2、2+2

一共就3种方法，所以返回3

4.2 分析

每一种的面值模型张数是限制的，如下去重之后的每一种面值和每种面值的张数

4.3 代码

package class21;import java.util.HashMap;import java.util.Map.Entry;public class Code04_CoinsWaySameValueSamePapper {public static class Info {public int[] coins;       public int[] zhangs;       public Info(int[] c, int[] z) {coins = c;          zhangs = z;       }}public static Info getInfo(int[] arr) {HashMap<Integer, Integer> counts = new HashMap<>();       for (int value : arr) {if (!counts.containsKey(value)) {counts.put(value, 1);          } else {counts.put(value, counts.get(value) + 1);          }}int N = counts.size();       int[] coins = new int[N];       int[] zhangs = new int[N];       int index = 0;       for (Entry<Integer, Integer> entry : counts.entrySet()) {coins[index] = entry.getKey();          zhangs[index++] = entry.getValue();       }return new Info(coins, zhangs);    }public static int coinsWay(int[] arr, int aim) {if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {return 0;       }Info info = getInfo(arr);       return process(info.coins, info.zhangs, 0, aim);    }// coins 面值数组，正数且去重    // zhangs 每种面值对应的张数    public static int process(int[] coins, int[] zhangs, int index, int rest) {if (index == coins.length) {return rest == 0 ? 1 : 0;       }int ways = 0;       for (int zhang = 0; zhang * coins[index] <= rest && zhang <= zhangs[index]; zhang++) {ways += process(coins, zhangs, index + 1, rest - (zhang * coins[index]));       }return ways;    }public static int dp1(int[] arr, int aim) {if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {return 0;       }Info info = getInfo(arr);       int[] coins = info.coins;       int[] zhangs = info.zhangs;       int N = coins.length;       int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];       dp[N][0] = 1;       for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {int ways = 0;             for (int zhang = 0; zhang * coins[index] <= rest && zhang <= zhangs[index]; zhang++) {ways += dp[index + 1][rest - (zhang * coins[index])];             }dp[index][rest] = ways;          }}return dp[0][aim];    }public static int dp2(int[] arr, int aim) {if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {return 0;       }Info info = getInfo(arr);       int[] coins = info.coins;       int[] zhangs = info.zhangs;       int N = coins.length;       int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];       dp[N][0] = 1;       for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {dp[index][rest] = dp[index + 1][rest];             if (rest - coins[index] >= 0) {dp[index][rest] += dp[index][rest - coins[index]];             }if (rest - coins[index] * (zhangs[index] + 1) >= 0) {dp[index][rest] -= dp[index + 1][rest - coins[index] * (zhangs[index] + 1)];             }}}return dp[0][aim];    }// 为了测试    public static int[] randomArray(int maxLen, int maxValue) {int N = (int) (Math.random() * maxLen);       int[] arr = new int[N];       for (int i = 0; i < N; i++) {arr[i] = (int) (Math.random() * maxValue) + 1;       }return arr;    }// 为了测试    public static void printArray(int[] arr) {for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");       }System.out.println();    }// 为了测试    public static void main(String[] args) {int maxLen = 10;       int maxValue = 20;       int testTime = 1000000;       System.out.println("测试开始");       for (int i = 0; i < testTime; i++) {int[] arr = randomArray(maxLen, maxValue);          int aim = (int) (Math.random() * maxValue);          int ans1 = coinsWay(arr, aim);          int ans2 = dp1(arr, aim);          int ans3 = dp2(arr, aim);          if (ans1 != ans2 || ans1 != ans3) {System.out.println("Oops!");             printArray(arr);             System.out.println(aim);             System.out.println(ans1);             System.out.println(ans2);             System.out.println(ans3);             break;          }}System.out.println("测试结束");    }}

六给定5个参数，N，M，row，col，k

6.1 定5个参数，N，M，row，col，k

表示在NM的区域上，醉汉Bob初始在(row,col)位置Bob一共要迈出k步，且每步都会等概率向上下左右四个方向走一个单位任何时候Bob只要离开NM的区域，就直接死亡

返回k步之后，Bob还在N*M的区域的概率

6.2 分析

6.3 代码

    public static double livePosibility1(int row, int col, int k, int N, int M) {return (double) process(row, col, k, N, M) / Math.pow(4, k);}// 目前在row，col位置，还有rest步要走，走完了如果还在棋盘中就获得1个生存点，返回总的生存点数public static long process(int row, int col, int rest, int N, int M) {if (row < 0 || row == N || col < 0 || col == M) {return 0;}// 还在棋盘中！if (rest == 0) {return 1;}// 还在棋盘中！还有步数要走long up = process(row - 1, col, rest - 1, N, M);long down = process(row + 1, col, rest - 1, N, M);long left = process(row, col - 1, rest - 1, N, M);long right = process(row, col + 1, rest - 1, N, M);return up + down + left + right;}

6.4 动态规划分析再看一下

6.5 动态规划代码

public static double livePosibility2(int row, int col, int k, int N, int M) {long[][][] dp = new long[N][M][k + 1];for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < M; j++) {dp[i][j][0] = 1;}}for (int rest = 1; rest <= k; rest++) {for (int r = 0; r < N; r++) {for (int c = 0; c < M; c++) {dp[r][c][rest] = pick(dp, N, M, r - 1, c, rest - 1);dp[r][c][rest] += pick(dp, N, M, r + 1, c, rest - 1);dp[r][c][rest] += pick(dp, N, M, r, c - 1, rest - 1);dp[r][c][rest] += pick(dp, N, M, r, c + 1, rest - 1);}}}return (double) dp[row][col][k] / Math.pow(4, k);}public static long pick(long[][][] dp, int N, int M, int r, int c, int rest) {if (r < 0 || r == N || c < 0 || c == M) {return 0;}return dp[r][c][rest];}public static void main(String[] args) {System.out.println(livePosibility1(6, 6, 10, 50, 50));System.out.println(livePosibility2(6, 6, 10, 50, 50));}