练习题-18 计算两个积分
- 计算积分 I = ∫ R e − t 4 d t . I=\int_{\mathbb{R}} e^{-t^4} dt. I=∫Re−t4dt.
解：令 x = t 4 x=t^4 x=t4. 则 I = 2 ∫ 0 ∞ e − x ⋅ 1 4 ⋅ x − 3 / 4 d x = 1 2 Γ ( 1 4 ) I = 2\int_0^\infty e^{-x} \cdot \frac{1}{4}\cdot x^{-3/4} dx=\frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{4}) I=2∫0∞e−x⋅41⋅x−3/4dx=21Γ(41).
注：已知 Γ ( 1 4 ) \Gamma(\frac{1}{4}) Γ(41)是超越数.
- 计算积分 J = ∫ 0 ∞ 1 1 + t 2 sin t t d t . J=\int_0^{\infty} \frac{1}{1+t^2} \frac{\sin t}{t}dt. J=∫0∞1+t21tsintdt.
解： J = 1 2 ∫ R 1 1 + t 2 sin t t d t J=\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{1+t^2} \frac{\sin t}{t}dt J=21∫R1+t21tsintdt. 用围道积分与留数来计算：
J = I m [ ∫ C R + ∫ C 1 + ∫ C 2 + ∫ C r e i z 2 z ( z 2 + 1 ) d t ] J=\mathrm{Im} \left[\int_{C_R} + \int_{C_1} + \int_{C_2} + \int_{C_r} \frac{e^{iz}}{2z(z^2+1)} dt \right] J=Im[∫CR+∫C1+∫C2+∫Cr2z(z2+1)eizdt].
其中 R > r > 0 R>r>0 R>r>0, C R C_R CR是上半圆弧 ∣ z ∣ = R |z|=R ∣z∣=R, C r C_r Cr是上半圆弧 ∣ z ∣ = r |z|=r ∣z∣=r, C 1 C_1 C1沿着实轴从 − R -R −R到 − r -r −r, C 2 C_2 C2沿着实轴从 r r r到 R R R. 四段曲线构成一个闭合围道 γ \gamma γ，正方向取逆时针方向。
在上半平面(或者在 γ \gamma γ所围成的区域内）, 被积函数只有一个极点 z = i z=i z=i. 按照Jordan引理，当 R → ∞ R\to \infty R→∞时，积分趋向于 0 0 0; 在 C 1 , C 2 C_1, C_2 C1,C2上的积分会抵消，当 r → 0 r \to 0 r→0时，极点 z = 0 z=0 z=0对积分的“贡献”只有一半。根据柯西积分定理, J J J等于下列“留数贡献”的虚部：
2 π i R e s ( e i z 2 z ( z 2 + 1 ) , z = i ) + π i R e s ( e i z 2 z ( z 2 + 1 ) , z = 0 ) = 2 π i lim z → i ( z − i ) e i z 2 z ( z 2 + 1 ) + π i lim z → 0 z e i z 2 z ( z 2 + 1 ) = π i 2 ( 1 − 1 e ) . \begin{aligned} &2\pi i\, \mathrm{Res}\left(\frac{e^{iz}}{2z(z^2+1)} , z=i \right)+\pi i \,\mathrm{Res} \left(\frac{e^{iz}}{2z(z^2+1)} , z=0\right) \\ =& 2\pi i \lim_{z \to i} \frac{(z-i)e^{iz}}{2z(z^2+1)} + \pi i \lim_{z\to 0} \frac{ze^{iz}}{2z(z^2+1)}\\ =& \frac{\pi i}{2}(1-\frac{1}{e}). \end{aligned} ==2πiRes(2z(z2+1)eiz,z=i)+πiRes(2z(z2+1)eiz,z=0)2πiz→ilim2z(z2+1)(z−i)eiz+πiz→0lim2z(z2+1)zeiz2πi(1−e1).
所以 J = π 2 ( 1 − 1 e ) . J=\frac{\pi }{2}(1-\frac{1}{e}). J=2π(1−e1).