【无标题】蓝桥杯软件赛Java研究生组/A组）第二章基础算法-第四节：构造

• 构造类这种题目，比较开放、而且往往需要一些其他知识，往往就是读的时候感觉很麻烦抽象，但是看到答案后，又感觉非常简单
• 这种题目没有必要死磕，有时间看看就行，总结总结

一：什么是构造

（1）概述

构造：构造题在比赛和解决问题的过程中确实是常见的一类题型。它们通常要求解题者通过观察问题的结构和规律，找到一种通用的方法或模式，使得在问题规模增大时，依然能够高效地得到答案。考虑以下几点

• 观察问题规模的增长：了解问题随着规模的增大，答案的变化趋势。这可以帮助你找到一种通用的解决方案
• 推广规律：试将你观察到的规律推广到更大的问题规模上。这可能涉及到数学归纳法或者其他类似的思考方式
• 考虑状态转移（适用于动态规划等问题）：如果问题可以通过状态转移来求解，那么要仔细考虑从一个状态到另一个状态的转移会带来什么影响
• 模式识别：尝试寻找问题中的模式或者特征，这有助于你更好地理解问题的本质
• 实践和练习：通过解决大量的构造题，你会逐渐培养出发现规律和应用通用方法的能力
• 注意特殊情况：一些构造题在特定的情况下可能会有不同的解法或者规律，要注意考虑这些特殊情况

构造类问题有如下特点

• 高自由度：一道题的构造方式可能存在多种，但往往会有一种相对简单且能够满足题意的构造方式。这种特性看似降低了难度，使问题更易理解，但实际上，这种高自由度往往会导致考生在面对题目时感到迷茫，难以找到明确的解题思路
• 灵活和多样性：并不存在一个通用解法或套路适用于所有构造题，甚至很难找出解题思路的共性。这意味着解决构造题需要考生具备灵活的思维，善于观察和归纳，以便在面对各种不同形式的题目时能够找到切入点和解题方法

这里有一些解题建议

• 仔细分析题目要求和条件
  • 仔细阅读题目，确保你理解了题目的要求和所给的条件
  • 弄清楚问题的背景和目标，明确你需要构造的内容或解决的问题
• 尝试特例和极端情况
  • 试图找出一些特殊情况下的解法，这可以帮助你更好地理解问题的本质
  • 探索极端情况，看看在极端条件下是否会出现特殊的构造方式或者规律
• 寻找模式和规律
  • 观察题目中是否存在一些明显的模式或者规律，这可能是解决问题的关键
  • 尝试从已知的情况中找到一般性的解法，并推广到更一般的情况
• 尝试逆向构造：从问题的反面思考也可以给出有用的线索。尝试反向推导出符合条件的情况
• 使用数学归纳法：尝试使用数学归纳法证明某种构造方式在所有情况下都成立
• 灵活应用已有知识：将已学的数学、物理、逻辑等知识灵活应用，可能会为你找到新的解法
• 反复实践和总结：多做类似的题目，总结解题经验，找出有效的解题方法，虽然不存在通解，但是部分构造题可能会用到相似的套路，如果能够有做题的广度并且经常总结，那么对于你解决构造题目是非常有帮助的
• 保持信心和耐心：构造题可能需要时间和多次尝试才能找到合适的解法，保持耐心和信心是很重要的

（2）常见的构造题目类型

构造题目很难找到一个准确的形式化定义，也没有一个通用的解题方法。因此，这里介绍一下常见的构造题型：

• 数学问题
  • 构造满足一定条件的数列、集合或排列组合
  • 利用数学关系构造出特定的解
• 图论问题
  • 构造特定的图结构，如树、图、有向图等
  • 根据题意构造出满足条件的图
• 字符串处理
  • 构造满足字符串性质的解，如回文串、循环字符串等
  • 构造满足特定字符串操作的解
• 组合与排列
  • 构造出满足一定条件的排列或组合
  • 根据条件构造特定的排列组合解
• 游戏策略：设计游戏规则，构造出有趣的游戏场景，考验选手的策略思维
• 逻辑推理：构造逻辑谜题或者推理题，要求选手根据题目信息进行推理，得出正确答案
• 数据结构：构造特定的数据结构，如堆、树、图等，要求选手在构造的基础上进行一系列操作
• 动态规划：构造状态转移方程，设计合适的状态表示，构造动态规划解
• 贪心算法：构造出合适的贪心策略，使得贪心策略能够得到最优解
• 模拟问题：设计模拟题，要求选手模拟特定场景或过程，根据模拟的结果得出答案

二：典型题目

（1）题目一

这种题目最简单的方法就是找规律，也就是归纳

因此，当N=n时，x=2n,y=3n,z=6n为原式的一组解

（2）题目二

数学问题：如果有一组整数$a_1,a_2,..,a_N$，并希望找到一个最短的等差数列来包含它们，那么需要考虑这些整数的插值。因为，为了保证所有整数都能在等差数列中，我们需要找到这些差值的最大公约数$d$，因为$d$是所有这些差值的因数，所以如果以$d$为长从最小值到最大值构建等差数列，它一定能包含所有给定的整数

• 确定最小值和最大值
• 计算最大值和最小值的差值
• 计算这N个整数的差值的最大公约数（GCD）。这可以通过对所有整数对之间的差值计算GCD来完成。
• 使用最小值作为初始值，公差d进行构造，从最小值到最大值的等差数列

（3）题目三

突破点在(a&1)xor(b&1)=1上

• 某个数和1做与运算，表示判断该数的最后一位是不是1。如果是1则表示它是奇数，如果是0则表示它是偶数
• 做异或运算后结果为1，就表示两个数不能同时为奇数或者偶数
• 那么只有一种可能，一个是奇数，一个是偶数

这个题最好的方法就是一个也不连，那肯定满足题意，但是题目要求需要构造包含$N$个节点的连通图，所以不能一个都不连。那么秉持着少连就能少得出现错误的原则，我们可以最少给它连接$N-1$条边，形成一个树即可

因此，题目转化为：构建一颗只由奇偶连边的树，并且使得最长边和最短边权值之差不超过3

如果要让其最小，那么让最大值最小，最小值最大即可。假如$N$为偶数，那么

• $1$连接$N$
• $3$连接$N-2$
• …

此时所有边的权值都是$N+1$

但现在它是不连通的，我们再考虑$N+3$的边，这样的话最大值与最小值之间的差为2，符合题意（当然这不是唯一解）

• $3$连$N$
• $5$连$N-2$
• …

但是如果$N$为奇数怎么办？也很简单，再添加一个节点，让其为偶数，然后直接练到1上

（4）题目四

思路

• 将最后一位数字设置为3
• 将前面的位数都设置为2，这样可以确保数不会被最后一位的3整除，由于最后一位是3不是偶数，所以也无法被2整除
• 接着，我们检查前面的位数，如果前面的位数的数量是3的倍数(一个简单的知识如果个个位数的和能够被3整除那么这个数也能被3整除)，此时那么我们可以将第一位的2替换为一个素数（比如5或7），这样就可以确保数不会被整除，同时也满足了题目的条件

例如

• 对于n=3：

  • 初始化为 223
  • 位数和为 2 + 2 + 3 = 7，不是3的倍数，所以无需修改
  • 最终结果为 223

• 对于 n=4：

  • 初始化为 2223
  • 位数和为 2 + 2 + 2 + 3 = 9，是3的倍数，将第一个2替换为5
  • 最终结果为 5223

（5）题目五

思路