CFD笔记

CFD

定常流动与非定常流动

定常流动：流体流动过程中各物理量均与时间无关;

非定常流动：流体流动过程中某个或某些物理量与时间有关.

运动黏度

运动粘度定义：$v=\frac{\mu }{\rho }$，其中$\mu$​表示粘度，

黏性应力$\tau$

$\tau =\mu \frac{du}{dy}$（单位是Pa），其中$\mu$是黏度，表示黏性应力和速度的梯度成正比.而应变率是$\frac{\partial u}{\partial y}$.

雷诺数

雷诺数是一个没有单位的无量纲数，指的是流体中惯性力和粘性力的比值.
$$Re=\frac{惯性力}{粘性力}=\frac{U\times d}{v}$$
其中U是特征速度，d是特征长度，v是运动粘度.

雷诺数越小，说明粘性力与惯性力相比，粘性力占主导地位，流体就黏糊糊的；雷诺数越大，说明惯性力占主导地位，流体就越清爽。

层流与湍流

湍流就是雷诺数大的状态，也就是流体粒子的惯性完全超越了粘性力的作用，处于自由运动的状态.

湍流其实就是流速很快的流体，因为流速很快的话流体就会炸开，而流速很快的话势必要求流体很清爽，清爽的流体的黏性力很小，对应的雷诺数很大，所以湍流的雷诺数很大.

动力粘度(dynamic viscosity)和运动粘度(kinematic viscosity)

**动力粘度$\mu$**的关系式：
$$\tau =\mu \frac{du}{dy}$$
式中$\tau$是应力，单位是$Pa=N/m^2$.$\frac{du}{dy}$为速度梯度, 单位是$\frac{m}{s}\cdot \frac{1}{m}=\frac{1}{s}$.

而**运动粘度$\nu$**的定义式：
$$\nu =\frac{\mu }{\rho }$$
理解：动力粘度是流体抵抗流动的阻力大小；运动粘度不受流体密度的影响.

摩尔质量

是每一摩尔化学元素或者化合物的质量，单位是kg/mol；对于单个原子，其摩尔质量在数值上等于其相对原子质量.

连续介质假设

将流体看作是连续、均匀、无限细小的介质，忽略了流体内部的微观结构和分子运动。即假设流体在宏观上是连续的，可以用一系列连续的物理量来描述.

牛顿流体与非牛顿流体

牛顿内摩擦定律:

牛顿内摩擦应力和单位距离上的两层流体间的相对速度成比例，比例系数$\mu$称为流体的动力粘度（单位是$N\cdot s/m^2$）。若$\mu$为常数，则称该类流体为牛顿流体。否则称为非牛顿流体。

对于牛顿流体，通常用$\nu$来代替$\mu$：

一般来说，牛顿流体的粘性比较小，对应的液体是小分子液体。

理想流体与粘性流体

**粘性（viscosity）**是流体内部发生相对运动而引起的内部相互作用。流体有抵抗两层流体间相对滑动速度，或普遍来说抵抗变形的性质，称为粘性。

当流体的粘性较小，运动的相对速度也不大时，所产生的粘性应力比起其他类型的力（如惯性力）可忽略不计，此时称这种流体为无粘流体。

应力

应力的单位是帕斯卡（Pa），即$N/m^2$。正应力$\sigma =\frac{dF}{dA}$，表示材料内部单位面积上的应力。通俗地说，应力就是物体在受到外界作用时物体各部分的材料贡献的内力。如图：

所以1Pa其实就是指1平方米的面积上受到了1N的力。当材料不均匀的时候，应力也是不均匀的

切应力也称为剪应力，指的是平行于截面的力：

流体扩散

当流体混合物中存在着组元的浓度差时，浓度高的地方将向浓度低的地方输送该组元的物质，这种现象称为扩散.

可压流体与不可压流体

当密度$\rho$为常数时，流体为不可压流体；当密度不为常数的时候，就是可压流体。最经典的，水就是不可压流体，空气就是可压流体.

定常与非定常流动

当流动的物理量不随时间变化，为定常流动；

当流动的物理量随时间变化，为非定常流动.

层流与湍流

层流是指流体在流动过程中两层之间没有相互混掺；而湍流是指流体不是出于分层流动状态。一般来说，湍流是普遍的，层流属于个别情况.

雷诺数：$Re=\frac{ud}{\nu }$，其中u是液体流速，$\nu$是运动粘度，d为管径.对于圆管内流动，当$Re\le 2300$时，管流一定是层流；Re≥8000~12000 时,管流一定为湍流；当2300<Re<8000,流动处于层流与湍流间的过渡区.

物理边界条件

• 无滑移条件：紧挨物面的气流与物面之间的相对速度为0，如果流动流经固定的物面，那么应该有
  $$u=v=w=0在物面（对于粘性流动）$$

• 温度无滑移条件：记物面材料的温度为$T_w$(壁面温度)，则直接与物面接触的气流的温度也是$T_w$。在壁面温度已知的给定问题中，边界条件为：
  $$T=T_w在物面$$

• 若壁面温度未知，例如，由于有热流传入物面或是由物面传给气流，壁面温度是随时间变化的函数，设$\dot{q_w}$为传给物面的瞬时热流，则由傅立叶定律：
  $$\dot{q_w}=-\left(k\frac{\partial t}{\partial n}\right)$$
  知对于非定常热流问题，边界条件是：
  $${\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_w=-\frac{\dot{q_w}}{k}在物面$$

• 绝热壁边界条件：若壁面温度达到这样一种程度，使得不再有热流传给物面，这个壁面温度定义为绝热壁面温度。对于绝热壁，边界条件是：
  $${\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_w=0在物面$$

• 对于**无粘流动，**唯一的边界条件是：
  $$V\cdot n=0在物面$$
  也就是垂直于物面的速度分量为0，也就是说物面上的流动与物面相切.

流体力学的控制方程

首先由物理学原理：质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒分别得到连续性方程、动量方程（NS方程）、能量方程，统称为NS方程组。这是一个有5个方程和6个未知数的方程组。

然后加入状态方程（也称为热状态方程）：$p=\rho RT$，其中R是普适气体常数。但是这同时引入了第七个未知量，即温度T。

最后再加入一个方程，如$e=e(T,p)$，特殊的是$e=c_{v}T$，其中$c_v$是比定容热容，这个方程有时称为量热状态方程。

从而我们可以得到一个七个方程七个未知数的方程组。

边界层

雷诺数足够高的时候，会出现很薄的边界层效应，在边界层内有粘性力，在边界层外无粘性力；但是如果雷诺数很低的时候，粘性效应会影响整个区域。

理想气体

如果气体分子本身的体积和分子之间的作用力可以忽略，这种气体就称为完全气体，其状态可以用下式来表示：
$$p=\rho \frac{R_0}{M}T$$
其中，$R_0=8.314J/(mol\cdot K)$是理想气体常数，M是气体的摩尔质量。

拉格朗日方法和欧拉方法

拉格朗日方法研究的目标是质点，研究什么物体的受力就着眼于这个物体，一般描述运动是：在t时刻，质点A得速度为····；

欧拉方法研究的目标不是质点，而是发生流体运动的空间，描述运动是：在t时刻，A点处流体质点的速度为····

拉格朗日坐标中描述导数是：加速度$\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{d{t}^2}$，但是欧拉坐标中是物质导数$\vec{a}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot \nabla )\vec{V}$.

超音速与亚音速

超音速与亚音速是描述流体速度相对于声速的一种方式.

马赫数的定义如下：
$$M=\frac{V}{a}$$
其中，V是流体的速度，a是流体中的声速.

**亚音速：**当马赫数M<1时，流体速度低于声速。亚音速流动不会出现激波；

**音速：**当马赫数接近1时，在这一速度范围内，流动中可能会同时存在亚音速区和超音速区，可能出现局部激波；

**超音速：**当马赫数>1时，流体速度超过声速。超音速流动中会出现激波，流动特征（压缩和膨胀效应）显著；

**高超音速：**当马赫数>5时，流体被称为高超音速。

焓

焓用来描述系统的总能量，焓的定义为系统的内能与系统所占有体积的压力积之和：
$$H=U+PV$$
其中，H是焓（单位：焦耳）；U是系统的内能（J）；P是系统的压力（Pa）；V是系统的体积（$m^3$）

在等压过程中，焓变化等于系统吸收或释放的热量；

比焓

比焓是焓的质量比值，定义为：
$$h=\frac{H}{m}$$
其中，h是比焓（J/kg)；H是总焓（J）；m是质量。

理想气体的比焓可以用定压比热容和温度来表示：
$$h=c_{p}T$$

总焓

总焓用来描述流体的能量状态，它是流体的焓和动能之和：
$$h_0=h+\frac{V^2}{2}$$
其中，$h_0是总焓$；h是静焓，即流体的焓，表示为$h=c_{p}T$；V是流体的速度。

熵解

熵解在处理非线性双曲型守恒型方程（如欧拉方程）。熵解的引入是为了应对经典解可能不唯一或者不存在的情况，从而保证物理上的合理性。

守恒律方程写为：$\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla \cdot f(u)=0$，其中u是保守变量，f(u)是流通量向量。

在非线性守恒律方程中，解可以产生激波，即解在某些点处发生不连续，这些不连续点会导致方程的经典解（即处处连续并可微的解）可能不唯一，或者在某些情况下根本不存在。为了选择物理上合理的解，我们引入了熵条件。

熵解排除了不合理的激波和其他不连续现象。

Riemann问题和Sod问题

Riemann问题是一类具有分段常数初始条件的保守型双曲偏微分方程，即Riemann问题的初始条件通常表现为在某个界面上有不连续性

Sod问题是一个具体的Riemann问题，初始条件定义如下：

左侧区域(高压区):

密度 ($rh{o}_L=1.0$) - 速度 ($u_L=0.0$) - 压力($P_L=1.0$)

右侧区域(低压区):

密度 ($rh{o}_R=0.125$) - 速度 ($u_R=0.0$) - 压力 ($P_R=0.1$)