当前位置：首页 > news >正文

从二元一次方程组到二阶行列式再到克拉默法则

news 来源：原创 2024/7/7 12:53:41

引言
- 1 二元一次方程组
- - 什么是二元一次方程组？
  - 解法概述
  - 示例
  - - 1. 操作步骤
    - 2. 消元法
- 2 二阶行列式
- - 引入行列式
  - 行列式定义
  - 示例计算
- 3 克拉默法则
- - 什么是克拉默法则？
  - 克拉默法则公式
  - 使用克拉默法则求解
  - 使用克拉默法则求解多元一次方程组
  - 求解 $x$
  - 求解 $y$
  - 求解 $z$
  - 使用克拉默法则的限制条件
  - - 1.方程数与未知数相等
    - 2.系数矩阵必须是方阵且行列式结果不为零
    - 3.方程组必须是线性的
- 4 总结

引言

在数学中，线性代数提供了一套强大的工具来解决各种实际问题。本文将介绍从二元一次方程组开始，如何利用二阶行列式和克拉默法则来求解问题。

1 二元一次方程组

什么是二元一次方程组？

二元一次方程组指包含两个变量的一次方程组，通常形如：

$\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}$

这里，3、4、7、9、5 和 11 是已知的常数，(x) 和 (y) 是需要求解的未知数。

解法概述

解决这种方程组的一种基本方法是消元法。通过适当的操作消去一个变量，简化成一个关于单个变量的方程。让我们详细说明这个过程。

示例

1. 操作步骤

首先，我们将两个方程进行变形，以便消去一个变量。

原方程组：

$\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}$

2. 消元法

为了消去一个变量，我们将第一个方程和第二个方程进行适当的变换。假设我们希望消去 (x)，我们可以进行如下操作：

将第一个方程乘以 7：
将第二个方程乘以 3：

$\begin{cases} 7 \cdot 3x + 7 \cdot 4y = 7 \cdot 5 \\ 3 \cdot 7x + 3 \cdot 9y = 3 \cdot 11 \end{cases}$

两式相减，求得 y 的值
$y=\frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 11}{7 \cdot 4 - 3 \cdot 9}$
现在我们就想，把分子分母换成行列式写法，由此就引入了二阶行列式的写法，上面的式子可以写为这样

$\frac{\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 11 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 9 & 4 \end{vmatrix}}$

最后求得 x 和 y 的值：

$\\ x = -1$

2 二阶行列式

引入行列式

在上面的步骤中，我们进行了方程变换和变量消去，实际上可以使用行列式的方法来简化这些步骤。

行列式定义

行列式是一种代数表达式，用于求解线性方程组。二阶行列式定义如下：

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

示例计算

对于矩阵

$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}$

其行列式为：

$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 7 = 27 - 28 = -1$

3 克拉默法则

什么是克拉默法则？

克拉默法则是一种利用行列式解决线性方程组的方法。对于一个二元一次方程组：

$\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}$

它可以表示成矩阵形式 (AX = B)，其中：

$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$

克拉默法则公式

克拉默法则提供了求解线性方程组的公式。可以很方便的解出 (x) 和 (y)，注意分母都是一样的：
(x)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第一列， (y)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第二列，

$\frac{\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}}$

使用克拉默法则求解

计算分母：

$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 7 = -1$

计算 (x) 的分子：

$\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 4 \cdot 11 = 45 - 44 = 1$

计算 (y) 的分子：

$\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{vmatrix} = 3 \cdot 11 - 5 \cdot 7 = 33 - 35 = -2$

求解：

$\frac{1}{-1} = -1$

$\frac{-2}{-1} = 2$

使用克拉默法则求解多元一次方程组

也是类似的，用三元一次方程组举例，四元、五元、十元等等类似：
$\begin{cases} 2x + 3y - z = 5 \\ 4x - y + 2z = 6 \\ 3x + 2y + z = 7 \end{cases}$

将其表示为矩阵形式 (AX = B)，其中：

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}$

求解 (x)

用 B 替换 A 的第一列：
$=\frac { \begin{vmatrix} 5 & 3 & -1 \\ 6 & -1 & 2 \\ 7 & 2 & 1 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} }=\frac{4}{3}$

高阶行列式的计算可以使用余子式，按行或列展开计算，本文不再赘述。

求解 (y)

用 B 替换 A 的第二列：
$=\frac { \begin{vmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 4 & 6 & 2 \\ 3 & 7 & 1 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} }= \frac{16}{15}$

求解 (z)

用 B 替换 A 的第三列：
$\frac { \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & -1 & 6 \\ 3 & 2 & 7 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} }= \frac{13}{15}$