【动态规划 前缀和】2478. 完美分割的方案数

本文涉及知识点

划分型dp 动态规划汇总
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

LeetCode 2478. 完美分割的方案数

给你一个字符串 s ，每个字符是数字 ‘1’ 到 ‘9’ ，再给你两个整数 k 和 minLength 。
如果对 s 的分割满足以下条件，那么我们认为它是一个 完美 分割：
s 被分成 k 段互不相交的子字符串。
每个子字符串长度都 至少 为 minLength 。
每个子字符串的第一个字符都是一个 质数 数字，最后一个字符都是一个 非质数 数字。质数数字为 ‘2’ ，‘3’ ，‘5’ 和 ‘7’ ，剩下的都是非质数数字。
请你返回 s 的 完美 分割数目。由于答案可能很大，请返回答案对 109 + 7 取余 后的结果。
一个 子字符串 是字符串中一段连续字符串序列。
示例 1：
输入：s = “23542185131”, k = 3, minLength = 2
输出：3
解释：存在 3 种完美分割方案：
“2354 | 218 | 5131”
“2354 | 21851 | 31”
“2354218 | 51 | 31”
示例 2：
输入：s = “23542185131”, k = 3, minLength = 3
输出：1
解释：存在一种完美分割方案：“2354 | 218 | 5131” 。
示例 3：
输入：s = “3312958”, k = 3, minLength = 1
输出：1
解释：存在一种完美分割方案：“331 | 29 | 58” 。
提示：
1 <= k, minLength <= s.length <= 1000
s 每个字符都为数字 ‘1’ 到 ‘9’ 之一。

划分型dp

预处理

bool bPrime[128] 记录那些字符是质数。
vNotPirme记录所有非质数下标。二维向量lr，记录所有可以划分的区间，左闭右开。如果s[i]不是质数，则s[i]为空。
否则将所有r $\in$ vNotPrime ，且 r- i +1 >= minLength 的r+1放到s[i]中。只后就是经典的划分性dp。
时间复杂度 ： O(n³)超时。

代码

class Solution {
public:int beautifulPartitions(string s, int K, int minLength) {bool bPrime[128] = { false };bPrime['2'] = bPrime['3'] = bPrime['5'] = bPrime['7']=true;	const int N = s.length();vector<int> notPrime;for (int i = 0; i < N; i++) {if (bPrime[s[i]]) { continue; }notPrime.emplace_back(i);}vector<vector<int>> lr(N);for (int i = 0,j=0; i < N; i++) {if (!bPrime[s[i]]) { continue; }while ((j < notPrime.size()) && (notPrime[j] - i + 1 < minLength)) {j++;}for (int k = j; k < notPrime.size(); k++) {lr[i].emplace_back(notPrime[k] + 1);}}vector<vector<C1097Int<>>> dp(K+1,vector<C1097Int<>>(N + 1));dp[0][0] = 1;for (int i = 0; i < N; i++) {for(int k = 0; k < K ;k++ )for (int r : lr[i]) {dp[k + 1][r] += dp[k][i];}}return dp.back().back().ToInt();}
};

动态规划+前缀和

如果s[0]不是质数或s.back()是质数，无法分割，直接返回0。
分成k段有k-1分割点。
s[i]非质数，s[i+1]是质数，则可以分割。
vSplit记录所有的分割点，为了避免处理边界vSplit = {-1}; 最后追加n-1

动态规划的状态

dp[i][k]表示处理完vSplit[i]的分割k段的方案。 空间复杂度：O(mk) m= vSplit.size()

动态规划的转移方程

dp[i][k] = ${\sum }_{j:0}^{vSplit[i]-vSplit[j]>=minLenght}$dp[j][k-1]
利用前缀和优化，单个状态转移的时间复杂度是：O(1)
总时间复杂度：O(mk)

动态规划的填表顺序

i从1到m-1,k从1到K

动态规划的初始值

dp[0][0] = 1 ，其余全为0 .

动态规划的返回值

dp.back().back()

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int beautifulPartitions(string s, int K, int minLength) {bool bPrime[128] = { false };bPrime['2'] = bPrime['3'] = bPrime['5'] = bPrime['7']=true;	if ((!bPrime[s[0]]) || (bPrime[s.back()])) { return 0; }const int N = s.length();vector<int> vSplit = { -1 };for (int i = 0; i+1 < N; i++) {if (bPrime[s[i]]) { continue; }if (bPrime[s[i + 1]]) { vSplit.emplace_back(i); }}		vSplit.emplace_back(N - 1);const int M = vSplit.size();vector<vector<C1097Int<>>> dp(M , vector<C1097Int<>>(K + 1));dp[0][0] = 1;vector<C1097Int<>> vSum(K);for (int m = 1, i = 0; m < M; m++) {while ((i < M) && (vSplit[m] - vSplit[i] >= minLength)) {for (int k = 0; k < K; k++) {vSum[k] += dp[i][k];}i++;}for (int k = 1; k <= K; k++) {dp[m][k] = vSum[k - 1];}}		return dp.back().back().ToInt();}
};

单元测试

template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{Assert::AreEqual(t1, t2);
}template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);}
}template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{sort(vv1.begin(), vv1.end());sort(vv2.begin(), vv2.end());Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());for (int i = 0; i < vv1.size(); i++){AssertEx(vv1[i], vv2[i]);}
}namespace UnitTest
{	string s;int k, minLength;TEST_CLASS(UnitTest){public:TEST_METHOD(TestMethod00){s = "23542185131", k = 3, minLength = 2;auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);AssertEx(3, res);}TEST_METHOD(TestMethod01){s = "23542185131", k = 3, minLength = 3;auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod02){s = "3312958", k = 3, minLength = 1;auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod03){s = "24", k = 1, minLength = 1;auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod031){s = "24", k = 1, minLength =3;auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);AssertEx(0, res);}TEST_METHOD(TestMethod04){s = "783938233588472343879134266968", k = 4, minLength = 6;auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);AssertEx(4, res);}TEST_METHOD(TestMethod05){s = "242538614532395749146912679859", k = 1, minLength = 6;auto res = Solution().beautifulPartitions(s, k, minLength);AssertEx(1, res);}};
}

扩展阅读

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。