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机器学习——关于极大似然估计法的一些个人思考

news 来源：原创 2024/9/20 7:20:39

最近在回顾机器学习的一些相关理论知识，回顾到极大似然法时，对于极大似然法中的一些公式有些迷糊了，所以本文主要想记录并分享一下个人关于极大似然估计法的一些思考，如果有误，请见谅，欢迎一起前来探讨。当然，如果这篇文章还能入得了各位“看官”的法眼，麻烦点赞、关注、收藏，支持一下！

一、须知前提

可能有一部分小伙伴的概率学等相关理论知识相对薄弱，因此，为了让大家更好的理解，在对极大似然估计法进行说明前，先对相关的须知理论知识做一个简单的说明

在理解极大似然估计法时，有两需要理解，一个是贝叶斯定理，一个是联合概率

1、贝叶斯定理

直接给出公式：

对于贝叶斯定理的公式，可能很多小伙伴不能理解是怎么得来的，其实本人也不甚了解，但是着并并不影响公式的使用，所以大家不需要过度纠结这条公式是怎么来的，其实只要会用就可以，当然有兴趣的小伙伴可以自行去检索一下，相信网络上有很多相关资料。

但是，我们必须要理解公式中每个部分代表着什么，这样才能保证我们可以正常使用。

这里比较重要的是条件概率和联合概率，公式中的P(x,c)就是联合概率，对于联合概率此处先不讲，但是会在下一小节重点解释，公式中的P(c|x)和P(x|c)就是条件概率，举两个例子大家感受一下：

P(好瓜|敲声=脆响)=敲声脆响的瓜是好瓜的概率

P(敲声=脆响|好瓜)=好瓜的敲声是脆响的概率

对此，我们不难发现，对于条件概率，大家可以理解为，在某一前提的情况下发生某件事的概率

至于为什么使用贝叶斯公式，其实原因很简单，因为P(c|x)在实际生活中无法求得或者求得的投入入过大不划算，比如说，如果我们要求P(好瓜|敲声=脆响)时，我们通过敲打西瓜可以知道敲声是否脆响，但是无法直接得出是不是好瓜，要想知道西瓜是否是好瓜，我们需要把西瓜切开，一两个瓜还好，要是成百上千呢？如果仅仅只是为了知道瓜是不是好瓜而将每个瓜都切开这不现实。

2、联合概率

在贝叶斯定理部分，已经给出了条件概率的形式，在概率中还有一种概率形式叫做联合概率，其形式如下:

或者是：

对于联合概率，大家可以理解为，多个事件同时发生的概率，即“且”的关系，举个简单的例子大家感受一下：

P(敲声脆响，触感硬滑)=敲声脆响且触感硬滑的概率

另外，根据样本的分布是否独立，联合概率分成两种形式。

当属性/样本之间是独立分布时：

或者：

为了让大家更好理解，我举个例子：

P(敲声=脆响，触感=硬滑，根蒂=蜷缩)=P(敲声=脆响)*P(触感=硬滑)*P(根蒂=蜷缩)

这里需要注意的是千万千万不要写成累加的形式。为什么是累乘而不是累加，我举个例子简单解释一下，P表示求概率想必大家都知道，概率必然是小于等于1的，若采用累加的形式，当敲声要么脆响要么沉闷，触感要么硬滑要么绵软，根蒂要么蜷缩要么硬挺时：

P(敲声=脆响)=P(触感=硬滑)=P(根蒂=蜷缩)=0.5

P(敲声=脆响，触感=硬滑，根蒂=蜷缩)=P(敲声=脆响)+P(触感=硬滑)+P(根蒂=蜷缩)=1.5＞1

概率值是1.5，大于1，这显然是错误的，因此我们不难得出，采用累加的形式是错误的。

说到这里我就再多说一句，什么情况下我们可以采用累加的形式，举个例子大家感受一下：

当敲声有三个值时，即敲声可以是脆响、清响、沉闷，如果我们要求敲声不为清脆的概率，或者说敲声等于脆响或者沉闷的概率，我们可以用累加，即：

P(敲声≠清脆)=P(敲声=脆响U敲声=沉闷)=P(敲声=脆响)+P(敲声=沉闷)

当属性/样本之间是非独立分布时：

举个例子，x1是x2的父节点，即x2的值受x1影响，如下所示：

举个例子:

P(敲声=脆响，触感=硬滑)=P(敲声=脆响)*P(触感=硬滑|敲声脆响)

二、极大似然估计法有啥用？

在上面一节中提到了贝叶斯定理，而极大似然法就是为了求解贝叶斯公式中的P(x|c)，比如求好瓜中敲声脆响的概率P(敲声=脆响|好瓜)。讲到这里，可能有些小伙伴，有些迷糊，P(x|c)明明很清楚也很好求，为啥还要用极大似然法，原因其实很简单，下面会进行说明。

对于单一样本或者单一属性而言确实很好求，就好像求解P(敲声=脆响|好瓜)，但是现实生活中我们需要求解的可能是多个属性，或者含有多个样本的样本集，即P(x1,x2,……xn|c)，对于这种情况我们往往很难直接求得。

举个例子，假设对于每个属性/样本x1~xn都有0和1两个值的话，那么x1~xn的组合形式也就有 $2^{n}$ 个，这样也就是说，要想使得训练集准确，训练集必须包含每一种可能性。因此，我们训练集中的训练样本数至少要有 $2^{n}$ 个，而且这些训练样本还必须都不同。当n大起来或者当x1~xn的取值不仅仅只有两个值时，就会存在要么训练集中样本数量巨大导致训练过程耗时耗力的问题，要么就会存在训练集中某种组合缺失导致训练结果不准的问题，而极大似然法却恰恰可以帮助我们解决这些问题。

三、极大似然估计法

先说一下极大似然估计法估计条件概率的基本原理/策略，极大似然估计法是先假定其具有某种确定的概率分布形式，再基于训练样本对概率分布的参数进行估计(这是《西瓜书》上的原话)。

个人理解：极大似然估计法认为每一个标记c都对应一种概率分形式，比如说正态分布、均匀分布等等，而我们求条件概率就是求特定分布下的某一值的概率，比如说，标记c对应的是正态分布，求P(x=1|c)，即求在这个正态分布下的x=1的概率是多少，当正态分布曲线画出来后，横轴代表数据点的值，纵轴代表数据点在该分布下的概率。因此，极大似然法就将求条件概率转换成了求标记c的具体分布，当分布曲线确定好之后，我们就可以直接在曲线上得出相应数据点的概率。

下面我将给出极大似然法的核心公式：

从上面的三条公式，我们不难看出，极大似然法最后求的是令 $LL(\theta_{c})$ 达到最大的 $\theta _{c}$ ，这与上面所讲的极大似然估计法的原理保持一致。

其中， $\theta _{c}$ 是一个参数向量，以正态分布为例， $\theta _{c}=\left [ \mu _{c},\sigma _{c} \right ]$ ，当 $\theta _{c}$ 确定后，正态分布曲线就可以定下来了， $D_{c}$ 表示训练集 $D$ 中第c 类样本组成的集合，并且我们假定这些样本是独立同分布的。

至于为什么求得的 $\theta _{c}$ 要使 $LL(\theta_{c})$ 达到最大，原因很简单。因为我们最根本目的是为了求的一个误差最小的模型，或者说预测结果最准却得模型，即P(c|x)要达到最大，因为P(c)和P(x)是确定的，所以根据贝叶斯公式，我们要求P(c|x)达到最大就可以转换成求P(x|c)达到最大。

样本点是由采样得来的，是一定的，而极大似然估计法则认为标记c对应的是一种概率分布形式，在不同的概率分布形式下，相同的样本点的概率是不同的，所以要使的P(x|c)达到最大，就是要找到一个最佳的概率分布曲线。

当标记c确定为某一概率分布形式后，比如正态分布，通过 $\theta _{c}$ 就可以确定具体概率分布曲线的形态，不同的 $\theta _{c}$ 会产生不同形态的概率分布曲线，也就会导致P(x|c)出现不同的值，当P(x|c)达到最大时， $LL(\theta_{c})$ 必然达到最大。因此，求解P(x|c)的最大值，就也可以转换成求使 $LL(\theta_{c})$ 达到最大的 $\theta _{c}$ 。