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大气热力学（6）——位温和假相当位温

news 来源：原创 2024/9/13 21:28:39

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

文章目录

6.1 位温
6.2 斜 T-lnP 图（Skew T-lnP）
- 6.2.1 等温线的绘制
- 6.2.2 干绝热线的绘制
6.3 假相当位温

6.1 位温

空气块在干绝热过程中，其温度是变化的，同一气块处于不同的气压（高度）时，其温度值常常是不同的，这就给处在不同高度上的两气块进行热状态的比较带来一定困难。

为此，假设把气块都按干绝热过程移到同一高度（或等压面上），就可以进行比较了。把各层中的气块循着干绝热的程序订正到一个标准高度：1000hPa 处，这时所具有的温度称为位温，以 $\theta$ 表示。以下是位温表达式的推导。

先写出干绝热方程（泊松方程）得：

$\frac{T}{T_0} = \bigg(\frac{p}{p_0} \bigg)^{0.286}$

把 $\theta，p = 1000$ 代入，即可得到位温的表达式：

$\theta = T_0 \bigg(\frac{1000}{p_0} \bigg)^{0.286}$

式中， $T_0$ 和 $p_0$ 是干绝热过程起始时刻的温度和气压。此式表明，气块沿干绝热线升降时，位温恒定不变（或者说位温守恒），因此干绝热线也称为等位温线。

我们把上式整理成：

$p_0^{0.286} = \bigg( \frac{1000^{0.286}} {\theta} \bigg) T_0$

我们发现，对任一 $\theta$ 常数值，上式符合一个正比例函数 $y = k x$ ：

$y$ 对应 $p_0^{0.286}$
$k$ 对应 $\frac{1000^{0.286}} {\theta} )$
$x$ 对应 $T_0$

每个 $\theta$ 值都可以用一条干绝热线表示，且一定通过点 $p_0=0，T_0=0$ 。若使用前文所述的 T-lnP 图，则不同 $\theta$ 值对应的干绝热线如下图所示：

在这里插入图片描述

在这张图中，等温线是垂直的（即垂直于 $x$ 轴），干绝热线相对于等温线成锐角。注意，此处使用的 T-lnP 图并不是常用的 T-lnP 图，因为其纵坐标的尺度是 $\ln p$ 。

在国内气象台中，T-lnP 图是比较常用的。但在国外，他们却并不使用这种图，原因是大多数探空数据都集中于上图的灰色狭小区域，不便使用。于是人们对上图进行了改良，将等温线变成倾斜的直线，从而产生了斜 T-lnP（skew T-lnP）图。

6.2 斜 T-lnP 图（Skew T-lnP）

6.2.1 等温线的绘制

在斜 T-lnP 图中，纵坐标依然为 $-\ln p$ ，横坐标为：

$m\ln p$

其中 $m$ 是一个可人为设定的常数， $T$ 是等温过程的温度。上式又可写成：

$\frac{x - T}{m}$

即：

$-\ln p = \frac{1}{m} x - \frac{T}{m}$

注意，这个 $T$ 是等温过程的温度，是一个常数，所以上式可视为一个一次方程：

$ln p = c_1x + c_2(T)$

其中， $c_1$ 是人为设定的常数，无论什么等温过程都不会变化；而 $c_2(T)$ 为对每个等温过程的不同常数，是关于 $T$ 的常数。我们一般令 $c_1=1$ ，因此，等温线在斜 T-lnP 图上是一条从左到右的倾斜 45° 的直线，如下图的黑色实线所示：

在这里插入图片描述

6.2.2 干绝热线的绘制

为了说明斜 T-lnP 图是怎样表示干绝热线的，我们先写出位温的表达式：

$p^{0.286} = \bigg( \frac{1000^{0.286}} {\theta} \bigg) T$

如果对上式两边取对数：

$\ln p = (0.286 \ln 1000 - \ln \theta) + \ln T \\ 整理得：-\ln p = -\frac{1}{0.286} \ln T - \frac{0.286 \ln 1000 - \ln \theta}{0.286}$

把上式视为一次函数，自变量为 $\ln T$ ，因变量为 $-\ln p$ ，则变成：

$-\ln p = c_1 \ln T - c_2(\theta)$

其中， $c_1$ 是常数， $c_2(\theta)$ 是关于 $\theta$ 的常数。如果在一个以 $\ln T$ 为横坐标、以 $-\ln p$ 为纵坐标的图上绘制这条曲线，则干绝热线就是直线。

但是，在斜 T-lnP 图中，纵坐标依然为 $-\ln p$ ，但横坐标不是 $\ln T$ ，而是 $T$ 。所以在斜 T-lnP 图上，干绝热线起始于图的右下方，终止于图的左上方，是稍有向下弯曲的一组线，在下图中淡淡的虚线即为一组干绝热线（可能很难看得清）：

在这里插入图片描述

干空气团的上升过程，在图中可以表现为：沿着某条干绝热线从底部一直往上，随着高度的上升而降温，直到其相对湿度变为 100%（即空气变得饱和）后不再适用该线，而是使用湿绝热线。比如，若某团干空气的位温为 $\theta = 273 \mathrm{K}$ ，则该气团的上升相当于沿着位温为 $\mathrm{K}$ 的干绝热线向上画。

6.3 假相当位温

在气块的假绝热过程中，当气块中含有的水汽全部凝结降落时，所释放的潜热，就使原气块的位温提高到了极值（提升的大小即为 $\frac{L q_s}{C_{p,m}}$ ），这个数值称为假相当位温，用 $\theta_{se}$ 表示，定义如下：

$\begin{aligned} \theta_{se} &= \theta + \frac{L q_s}{C_{p,m}} \\ &= T_0 \bigg(\frac{1000}{p_0} \bigg)^{0.286} + \frac{L q_s}{C_{p,m}} \end{aligned}$

式中， $q_s$ 是气块在 1000hPa 处，1g 湿空气所含水汽量。由上式可以看出 $\theta_{se}$ 是气压、温度和湿度的函数。

我们可以从 T-lnP 图中求得某气块的假相当位温。如下图所示，设有一气块，其温、压、湿分别为 $(p, T, q)$ 。

在这里插入图片描述

在图上温度、压力始于 A 点，这时气块是未饱和的，令其沿干绝热线上升到达凝结高度 B 点，这时气块达到饱和；
当气块再继续上升时，就不断地有水汽凝结，这时它将沿湿绝热线上升降温，到达 C 点（这个 C 点如何确定？后面文章将会详细提及）；
在 C 点处，气块内水汽已全部凝结降落，再令其沿干绝热线下沉到 1000hPa（D 点），此时气块的温度（需沿着等温线读数）就是假相当位温 $\theta_{se}$ 。