数学基础 -- 三角学
三角学
三角学（Trigonometry）是数学的一个分支，主要研究三角形的边长与角度之间的关系。三角学在几何学、物理学、工程学等多个领域中有广泛的应用。以下是三角学的一些基本概念和公式：
基本概念
- 直角三角形：一个角为90度的三角形。
- 斜边：直角三角形中最长的边，对应于直角的对边。
- 对边：某个角的对边。
- 邻边：某个角的邻边。
三角函数
- 正弦函数 (sin)： sin ( θ ) = 对边 斜边 \sin(θ) = \frac{对边}{斜边} sin(θ)=斜边对边
- 余弦函数 (cos)： cos ( θ ) = 邻边 斜边 \cos(θ) = \frac{邻边}{斜边} cos(θ)=斜边邻边
- 正切函数 (tan)： tan ( θ ) = 对边 邻边 \tan(θ) = \frac{对边}{邻边} tan(θ)=邻边对边
倒数三角函数
- 余割函数 (csc)： csc ( θ ) = 1 sin ( θ ) \csc(θ) = \frac{1}{\sin(θ)} csc(θ)=sin(θ)1
- 正割函数 (sec)： sec ( θ ) = 1 cos ( θ ) \sec(θ) = \frac{1}{\cos(θ)} sec(θ)=cos(θ)1
- 余切函数 (cot)： cot ( θ ) = 1 tan ( θ ) \cot(θ) = \frac{1}{\tan(θ)} cot(θ)=tan(θ)1
常用三角公式
- sin 2 ( θ ) + cos 2 ( θ ) = 1 \sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 sin2(θ)+cos2(θ)=1
- 1 + tan 2 ( θ ) = sec 2 ( θ ) 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) 1+tan2(θ)=sec2(θ)
- 1 + cot 2 ( θ ) = csc 2 ( θ ) 1 + \cot^2(θ) = \csc^2(θ) 1+cot2(θ)=csc2(θ)
常用角度的三角函数值
| 角度(θ) | sin ( θ ) \sin(\theta) sin(θ) | cos ( θ ) \cos(θ) cos(θ) | tan ( θ ) \tan(θ) tan(θ) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1 2 \frac{1}{2} 21 | 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23 | 1 3 \frac{1}{\sqrt{3}} 31 |
| 45° | 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22 | 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22 | 1 |
| 60° | 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23 | 1 2 \frac{1}{2} 21 | 3 \sqrt{3} 3 |
| 90° | 1 1 1 | 0 0 0 | ∞ ∞ ∞ |
应用
- 解三角形：利用已知的角度和边长求解未知的角度和边长。
- 波动和振动：正弦和余弦函数在描述波动和振动现象中具有重要作用。
- 导航与定位：在GPS定位和航海中，三角函数用于计算位置和方向。
扩展三角函数定义域
扩展三角函数定义域是指将三角函数（如正弦函数、余弦函数、正切函数等）从它们在基本定义中的常见定义域（通常是角度或弧度的有限范围）扩展到更广泛的范围，通常是整个实数集。下面是一些方法和概念，帮助你理解和扩展三角函数的定义域：
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周期性：
- 三角函数的一个基本特性是周期性。例如，正弦函数和余弦函数的周期为 2 π 2\pi 2π，即对于任意实数 x x x，都有 sin ( x + 2 π ) = sin ( x ) \sin(x + 2\pi) = \sin(x) sin(x+2π)=sin(x) 和 cos ( x + 2 π ) = cos ( x ) \cos(x + 2\pi) = \cos(x) cos(x+2π)=cos(x)。
- 正切函数的周期为 π \pi π，即 tan ( x + π ) = tan ( x ) \tan(x + \pi) = \tan(x) tan(x+π)=tan(x)。
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无限扩展：
- 利用周期性，可以将三角函数的定义从一个有限区间扩展到整个实数集。例如，考虑正弦函数的基本定义域是 [ − π , π ] [- \pi, \pi] [−π,π]，通过利用其周期性，可以定义 sin ( x ) \sin(x) sin(x) 在整个实数范围上。
-
复数扩展：
- 三角函数还可以扩展到复数域。通过欧拉公式 e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) eix=cos(x)+isin(x)，可以将三角函数扩展为复变量的函数。
- 例如，定义复数 z = x + i y z = x + iy z=x+iy，那么正弦函数的扩展为 sin ( z ) = sin ( x + i y ) = sin ( x ) cosh ( y ) + i cos ( x ) sinh ( y ) \sin(z) = \sin(x + iy) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y) sin(z)=sin(x+iy)=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y)，这里 cosh \cosh cosh 和 sinh \sinh sinh 分别是双曲余弦和双曲正弦函数。
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反函数的扩展：
- 三角函数的反函数（如反正弦、反余弦、反正切）通常有有限的定义域。例如，反正弦函数 sin − 1 ( x ) \sin^{-1}(x) sin−1(x) 的定义域为 [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [−1,1]，值域为 [ − π / 2 , π / 2 ] [- \pi/2, \pi/2] [−π/2,π/2]。
- 通过考虑这些函数的周期性，可以将其值域扩展到更广范围。
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特定应用场景：
- 在一些应用中，特别是信号处理和傅里叶分析中，三角函数的定义域需要扩展到整个实数集，以处理无限时间范围内的信号。
举个具体例子，如果你想将正弦函数从基本定义域 [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [0,2π] 扩展到整个实数集，可以利用它的周期性：
sin ( x ) = sin ( x + 2 k π ) \sin(x) = \sin(x + 2k\pi) sin(x)=sin(x+2kπ)
其中 k k k 是任何整数。因此，对于任意实数 x x x，总可以找到一个整数 k k k，使得 x + 2 k π x + 2k\pi x+2kπ 落在 [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [0,2π] 这个区间内，从而定义 sin ( x ) \sin(x) sin(x) 的值。
通过这些方法，可以有效地将三角函数的定义域扩展到更广的范围，使其适用于更多的数学和工程问题。