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数列分块＜1＞

news 来源：原创 2024/9/20 4:53:51

本期是数列分块入门<1>。该系列的所有题目来自hzwer在LOJ上提供的数列分块入门系列。

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LOJ-P6277:

我们每 $m$ 个元素个元素分为一块，共有 $\frac{n}{m}$ 块，以及区间两侧的两个不完整的块。这两个不完整的块中至多 $2m$ 个元素。我们给每个块设置一个 $tag$ （就是记录这个块中元素一起加了多少），每次操作对每个整块直接 $\Theta (1)$ 标记，而不完整的块元素较少，暴力修改元素的值。

这样，每次询问时返回元素的值加上其所在块的加法标记即可。

时间复杂度 $\Theta (\frac{n}{m})+\Theta (m)$ 。根据均值不等式，当 $m$ 取 $\sqrt{n}$ 时总复杂度最低。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=50005;
int a[maxn],idx[maxn],tag[maxn],tot;
void change(int l,int r,int c){for(int i=l;i<=min(idx[l]*tot,r);i++)a[i]+=c;if(idx[l]!=idx[r]){for(int i=(idx[r]-1)*tot+1;i<=r;i++)a[i]+=c;}for(int i=idx[l]+1;i<=idx[r]-1;i++)tag[i]+=c;
}
int main(){int n;cin>>n;tot=sqrt(n);for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++)idx[i]=(i-1)/tot+1;for(int i=1;i<=n;i++){int opt,l,r,c;cin>>opt>>l>>r>>c;if(opt==0)change(l,r,c);if(opt==1)cout<<a[r]+tag[idx[r]]<<endl;}return O;
}

LOJ-P6278:

我们先来思考只有询问操作的情况，不完整的块枚举统计即可；而要在每个整块内寻找小于一个值的元素数，于是我们不得不要求块内元素是有序的，这样就能使用二分法对块内查询，需要预处理时每块做一遍排序，复杂度 $\Theta (n\: log\: n)$ ，每次查询在 $\sqrt{n}$ 个块内二分，以及暴力 $2 \sqrt{n}$ 个元素，总复杂度 $\Theta (n\: log\: n+n\sqrt{n}\:\: log\: \sqrt{n})$ 。

那么区间加怎么办呢？套用第一题的方法，维护一个加法标记，略有区别的地方在于，不完整的块修改后可能会使得该块内数字乱序，所以头尾两个不完整块需要重新排序。在加法标记下的询问操作，块外还是暴力，查询小于 $(x-tag)$ 的元素个数，块内用 $(x-tag)$ 作为二分的值即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=50005;
int a[maxn],idx[maxn],tag[maxn],tot,n;
vector<int> block[505];
void reset(int x){block[x].clear();for(int i=(x-1)*tot+1;i<=min(x*tot,n);i++)block[x].push_back(a[i]);sort(block[x].begin(),block[x].end());
}
void change(int l,int r,int c){for(int i=l;i<=min(idx[l]*tot,r);i++)a[i]+=c;reset(idx[l]);if(idx[l]!=idx[r]){for(int i=(idx[r]-1)*tot+1;i<=r;i++)a[i]+=c;reset(idx[r]);}for(int i=idx[l]+1;i<=idx[r]-1;i++)tag[i]+=c;
}
int query(int l,int r,int c){int ans=0;for(int i=l;i<=min(idx[l]*tot,r);i++){if(a[i]+tag[idx[l]]<c)ans++;}if(idx[l]!=idx[r]){for(int i=(idx[r]-1)*tot+1;i<=r;i++){if(a[i]+tag[idx[r]]<c)ans++;}}for(int i=idx[l]+1;i<=idx[r]-1;i++)ans+=lower_bound(block[i].begin(),block[i].end(),c-tag[i])-block[i].begin();return ans;
}
int main(){cin>>n;tot=sqrt(n);for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++){idx[i]=(i-1)/tot+1;block[idx[i]].push_back(a[i]);}for(int i=1;i<=idx[n];i++)sort(block[i].begin(),block[i].end());for(int i=1;i<=n;i++){int opt,l,r,c;cin>>opt>>l>>r>>c;if(opt==0)change(l,r,c);if(opt==1)cout<<query(l,r,c*c)<<endl;}return O;
}

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