【线性代数】矩阵变换
一些特殊的矩阵
一，对角矩阵
1，什么是对角矩阵
表示将矩阵进行伸缩（反射）变换，仅沿坐标轴方向伸缩（反射）变换。
2，对角矩阵可分解为多个F1矩阵，如下：
二，剪切矩阵
1，什么是剪切矩阵
2，剪切矩阵的几何意义
3，剪切矩阵的特点
变换前后面积不变
三，正交矩阵
1，什么是正交矩阵？
2，正交矩阵的特点
（1）是方阵
（2）每个列向量都是单位矩阵
（3）每对列向量都正交
（4）正交矩阵的转置等于它的逆
3，正交矩阵的几何意义
只有旋转，无剪切，无伸缩，无反射
如下图所示，矩阵A表示绕X轴旋转60°，矩阵B表示绕Z轴旋转45°，C表示先按X轴旋转60°再按Z轴旋转45°，顺序不能颠倒。
若颠倒顺序，先绕Z轴旋转，再按X轴旋转，则：
四，投影矩阵
1，什么是投影矩阵？
将高维的变换到低维
谱分解
作用对象是对称矩阵，对称矩阵的特征向量正交。
本质：将一个复杂的变换分解为：旋转-伸缩-逆旋转
Q为单位特征向量组成的矩阵，即e1，e2，e3都是单位特征向量，为特征值组成的对角矩阵。
过程解释（以2维为例）：原对称矩阵S具有2个特征向量，且特征向量都正交，矩阵实现了将特征基 e1，e2旋转到原来的基 （1，0）（0，1）的过程，然后进行
伸缩变换，即沿特征基的方向进行伸缩变换，最后再乘Q将特征基旋转回原来的位置。
谱分解的特殊点：
（1）对称矩阵的特征向量都正交，原来的基也是正交的，则仅进行正交变换（旋转）即可实现将特征基旋转为原来的基。
奇异值分解
奇异值分解与谱分解的区别只有，谱分解是旋转---伸缩---逆旋转，而奇异值分解是旋转---伸缩（可能有维度消除或维度扩充）---再旋转。奇异值分解的第二次旋转不是第一次旋转的逆旋转。
1，图+公式推导
待分解矩阵的变换如图，改变换将相互正交的向量，
变换到仍然相互正交的向量
，
，伸缩量为
，
。设
，
，
则，即
即
即
所以的特征向量为
，特征值为
同理的特征向量为
，特征值为
综上，奇异值分解中，
为
的特征向量，
为
的特征向量。
为
或
特征值的平方根。
为右奇异向量，
为左奇异向量。
2，几何解释