数模·插值和拟合算法
插值
将离散的点连成曲线或者线段的一种方法
题目中有"任意时刻任意的量"时使用插值，因为插值一定经过样本点
插值函数的概念
插值函数与样本离散的点一一重合
插值函数往往有多个区间，多个区间插值函数样态不完全一样，简单来说就是个分段插值
插值的应用
插值的算法
牛顿法和拉格朗日法
一般不使用，忽略了原函数的状态，插值函数不光滑，甚至是线段函数
样条插值法spline
每一个区间上是多项式，且插值函数在每一个区间上m-1阶连续可导，这样可以保证插值函数尽可能光滑
代码如下
以下算法均传入一个插值区间，返回一个列表表示y值
%% 三次埃尔米特插值法
%以下对lnx进行差值
clear;clc;
x=0.01:0.5:10;
y=log(x);
new_x=0.5:0.01:10;
plot(x,y,'o');
hold on;
p=pchip(x,y,new_x);
plot(new_x,p,'b-');
埃尔米特插值法
要求多阶导数相同
代码如下
%% 样条差值法
clear;clc;
x=0.01:1:10;
y=log(x);
new_x=0.01:0.01:10;
plot(x,y,'r-');
hold on;
p=spline(x,y,new_x);
plot(new_x,p,'b-');
hold on;
拟合
将离散的点连成曲线或者线段的一种方法
预测模型+最好已知模型：人口增长、SIS模型等
拟合的原理：最小二乘法
证明太复杂了，不写了
- 四种基本的拟合函数
- 傅里叶拟合：傅里叶级数
- 高斯拟合：高斯函数
拟合算法的评估
拟合函数的系数ai如果都是线性看R-square，否则看SSE
