【机器学习】逻辑回归的梯度下降以及在一变量数据集、两变量数据集下探索优化的梯度下降算法

引言

在机器学习中，逻辑回归是一种用于二分类问题的方法。它使用逻辑函数（也称为sigmoid函数）来预测属于某个类别的概率。逻辑回归的损失函数通常是交叉熵损失，用于衡量预测值与真实值之间的差异

一、逻辑回归的梯度下降

1.1 逻辑回归的梯度下降算法的Python代码示例

这段代码将展示如何计算损失函数的梯度，并更新模型参数

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time    : 2024/8/2 22:31
# @Software: PyCharm
# @Author  : xialiwei
# @Email   : xxxxlw198031@163.comimport numpy as np
# sigmoid函数，用于逻辑回归的预测
def sigmoid(z):return 1 / (1 + np.exp(-z))
# 逻辑回归的损失函数
def log_loss(h, y):return (-y * np.log(h) - (1 - y) * np.log(1 - h)).mean()
# 计算梯度
def compute_gradient(X, y, w, b):m = len(y)z = np.dot(X, w) + bh = sigmoid(z)error = h - ydw = (1/m) * np.dot(X.T, error)db = (1/m) * np.sum(error)return dw, db
# 梯度下降算法
def gradient_descent(X, y, w_init, b_init, learning_rate, num_iterations):w = w_initb = b_initfor i in range(num_iterations):dw, db = compute_gradient(X, y, w, b)w -= learning_rate * dwb -= learning_rate * db# 可选：打印损失值，以便观察收敛情况if i % 100 == 0:z = np.dot(X, w) + bh = sigmoid(z)loss = log_loss(h, y)print(f"Iteration {i}: Loss {loss}")return w, b
# 示例数据（这里需要你自己准备数据集X和标签y）
# X = ... # 特征矩阵，形状为 (num_samples, num_features)
# y = ... # 标签向量，形状为 (num_samples,)
X_train = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_train = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])
# 初始化参数
w_init = np.zeros(X_train.shape[1])
b_init = 0
# 设置学习率和迭代次数
learning_rate = 0.01
num_iterations = 9000
# 执行梯度下降
w_final, b_final = gradient_descent(X_train, y_train, w_init, b_init, learning_rate, num_iterations)

1.2 代码解释

在这个代码中：

• sigmoid 函数用于计算逻辑回归的预测值
• log_loss 函数用于计算损失
• compute_gradient 函数用于计算损失函数关于模型参数的梯度
• 最后gradient_descent 函数实现了梯度下降算法，通过迭代更新模型参数

1.3 代码注意点

• 这段代码是一个简化的示例，实际应用中可能需要对数据进行预处理，比如特征缩放，并且可能需要添加正则化项来防止过拟合
• 学习率、迭代次数和其他超参数可能需要根据具体问题进行调整

二、逻辑回归的梯度下降

2.1 导入第三方库

import copy, math
import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from lab_utils_common import  dlc, plot_data, plt_tumor_data, sigmoid, compute_cost_logistic
from plt_quad_logistic import plt_quad_logistic, plt_prob
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

2.2 数据集

从决策边界实验中使用的同一个双特征数据集开始

X_train = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_train = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

像之前一样，我们将使用一个辅助函数来绘制这些数据。标签为𝑦=1的数据点用红色十字表示，而标签为𝑦=0的数据点用蓝色圆圈表示。

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(4,4))
plot_data(X_train, y_train, ax)
​
ax.axis([0, 4, 0, 3.5])
ax.set_ylabel('$x_1$', fontsize=12)
ax.set_xlabel('$x_0$', fontsize=12)
plt.show()

输出结果：

2.3 逻辑梯度下降

回忆一下，梯度下降算法利用梯度计算：
重复直到收敛：
repeat until convergence: { w j = w j − α ∂ J ( w , b ) ∂ w j for j := 0..n-1 b = b − α ∂ J ( w , b ) ∂ b } \begin{align*} &\text{repeat until convergence:} \; \lbrace \\ & \; \; \;w_j = w_j - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j} \tag{1} \; & \text{for j := 0..n-1} \\ & \; \; \; \; \;b = b - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b} \\ &\rbrace \end{align*} ​repeat until convergence:{wj​=wj​−α∂wj​∂J(w,b)​b=b−α∂b∂J(w,b)​}​for j := 0..n-1(1)​

每次迭代都对所有的𝑤𝑗执行同时更新，其中
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j}& =\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}(f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\\ \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b}& =\frac{1}{m}\sum _{i=0}^{m-1}(f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})-y^{(i)})\end{array}\text{\hspace{1em}(2)(3)}$$

• $m$是数据集中的训练示例数量
• $f_{\mathbf{w},b}(x^{(i)})$是模型的预测，而$y^{(i)}$是目标值
• 对于逻辑回归模型
  – $z=\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}+b$
  – $f_{\mathbf{w},b}(x)=g(z)$
  – 其中𝑔(𝑧)是sigmoid函数：$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

2.4 梯度下降实现

梯度下降算法实现包含两个部分：

• 实现上述方程（1）的循环。这是下面的gradient_descent，通常在可选和实践实验中提供给您
• 计算当前梯度，上述方程（2,3）。这是compute_gradient_logistic。这周您将在实践实验中实现这个

2.5 计算梯度的代码描述

实现上述方程（2,3）对于所有的𝑤𝑗和𝑏。有很多种实现方式。下面是其中一种：
初始化变量以累积dj_dw和dj_db，对于每个示例，计算该示例的错误𝑔(𝐰⋅𝐱(𝑖)+𝑏)−𝐲(𝑖)，对于该示例中的每个输入值𝑥(𝑖)𝑗，，将错误乘以输入𝑥(𝑖)𝑗，并加到dj_dw的对应元素上。（方程2）将错误加到dj_db上（方程3）将dj_db和dj_dw除以示例总数（m）

注意，在numpy中𝐱(𝑖)是X[i,:]或X[i]，而𝑥(𝑖)𝑗是X[i,j]

def compute_gradient_logistic(X, y, w, b): """Computes the gradient for linear regression Args:X (ndarray (m,n): Data, m examples with n featuresy (ndarray (m,)): target valuesw (ndarray (n,)): model parameters  b (scalar)      : model parameterReturnsdj_dw (ndarray (n,)): The gradient of the cost w.r.t. the parameters w. dj_db (scalar)      : The gradient of the cost w.r.t. the parameter b. """m,n = X.shapedj_dw = np.zeros((n,))                           #(n,)dj_db = 0.for i in range(m):f_wb_i = sigmoid(np.dot(X[i],w) + b)          #(n,)(n,)=scalarerr_i  = f_wb_i  - y[i]                       #scalarfor j in range(n):dj_dw[j] = dj_dw[j] + err_i * X[i,j]      #scalardj_db = dj_db + err_idj_dw = dj_dw/m                                   #(n,)dj_db = dj_db/m                                   #scalarreturn dj_db, dj_dw  

检查以下代码中梯度函数的实现

X_tmp = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_tmp = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])
w_tmp = np.array([2.,3.])
b_tmp = 1.
dj_db_tmp, dj_dw_tmp = compute_gradient_logistic(X_tmp, y_tmp, w_tmp, b_tmp)
print(f"dj_db: {dj_db_tmp}" )
print(f"dj_dw: {dj_dw_tmp.tolist()}" )

输出结果：

预期结果：
dj_db: 0.49861806546328574
dj_dw: [0.498333393278696, 0.49883942983996693]

结论：输出结果与预期结果一致

2.6 梯度下降法代码

下面是实现上述方程（1）的代码。
将程序中的函数与上面的方程进行比较。

def gradient_descent(X, y, w_in, b_in, alpha, num_iters): """Performs batch gradient descentArgs:X (ndarray (m,n)   : Data, m examples with n featuresy (ndarray (m,))   : target valuesw_in (ndarray (n,)): Initial values of model parameters  b_in (scalar)      : Initial values of model parameteralpha (float)      : Learning ratenum_iters (scalar) : number of iterations to run gradient descentReturns:w (ndarray (n,))   : Updated values of parametersb (scalar)         : Updated value of parameter """# An array to store cost J and w's at each iteration primarily for graphing laterJ_history = []w = copy.deepcopy(w_in)  #avoid modifying global w within functionb = b_infor i in range(num_iters):# Calculate the gradient and update the parametersdj_db, dj_dw = compute_gradient_logistic(X, y, w, b)   # Update Parameters using w, b, alpha and gradientw = w - alpha * dj_dw               b = b - alpha * dj_db               # Save cost J at each iterationif i<100000:      # prevent resource exhaustion J_history.append( compute_cost_logistic(X, y, w, b) )# Print cost every at intervals 10 times or as many iterations if < 10if i% math.ceil(num_iters / 10) == 0:print(f"Iteration {i:4d}: Cost {J_history[-1]}   ")return w, b, J_history         #return final w,b and J history for graphing

在我们的数据集上跑梯度下降的代码

w_tmp  = np.zeros_like(X_train[0])
b_tmp  = 0.
alph = 0.1
iters = 10000w_out, b_out, _ = gradient_descent(X_train, y_train, w_tmp, b_tmp, alph, iters) 
print(f"\nupdated parameters: w:{w_out}, b:{b_out}")

输出结果：

绘制梯度下降结果的代码：

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(5,4))
# plot the probability 
plt_prob(ax, w_out, b_out)# Plot the original data
ax.set_ylabel(r'$x_1$')
ax.set_xlabel(r'$x_0$')   
ax.axis([0, 4, 0, 3.5])
plot_data(X_train,y_train,ax)# Plot the decision boundary
x0 = -b_out/w_out[1]
x1 = -b_out/w_out[0]
ax.plot([0,x0],[x1,0], c=dlc["dlblue"], lw=1)
plt.show()

绘制结果：

在上面的图中：

• 着色反映了概率y=1（在决策边界之前的结果）
• 决策边界是概率等于0.5的线

2.7 另一个数据集

让我们回到一个一变量数据集。只有两个参数，𝑤和𝑏，我们可以在等高线图中绘制成本函数，以更好地了解梯度下降在做什么。

x_train = np.array([0., 1, 2, 3, 4, 5])
y_train = np.array([0,  0, 0, 1, 1, 1])

我们将使用一个辅助函数来绘制这些数据。标签为𝑦=1的数据点用红色十字表示，而标签为𝑦=0的数据点用蓝色圆圈表示

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(4,3))
plt_tumor_data(x_train, y_train, ax)
plt.show()

绘制结果：

在下面的图中，尝试：

• 通过点击上右角的等高线图来更改𝑤和𝑏
  – 更改可能需要一秒钟或两秒钟
  – 注意上左图中的成本值的变化
  – 注意成本是通过每个示例的损失累积的（垂直虚线）
• 通过点击橙色按钮运行梯度下降
  – 注意成本稳步下降（等高线和成本图以对数成本显示）
  – 在等高线图中点击将重置模型以进行新的运行
  – 要重置图表，重新运行此单元格

w_range = np.array([-1, 7])
b_range = np.array([1, -14])
quad = plt_quad_logistic( x_train, y_train, w_range, b_range )

绘制结果：

• 运行梯度下降前：
  
• 运行梯度下降后：
  

2.8 总结

• 检查了逻辑回归的梯度计算公式和实现，在这些例行程序中进行了探索一变量数据集、两变量数据集
• 更新逻辑回归的梯度下降算法
• 在一个熟悉的数据集上探索梯度下降