数学基础 -- 指数增长与指数衰变
指数增长
指数增长（Exponential Growth）描述了某一量随着时间的增加以指数函数的形式增长。公式为：
y ( t ) = y 0 ⋅ e k t y(t) = y_0 \cdot e^{kt} y(t)=y0⋅ekt
其中：
- y ( t ) y(t) y(t) 表示时间 t t t 时的数量；
- y 0 y_0 y0 表示初始数量；
- k k k 表示增长率（常为正值）；
- e e e 表示自然常数（约为 2.718）。
指数增长的特点是，随着时间的推移，数量增长得越来越快，曲线呈加速上升趋势。例如细菌的繁殖或复利增长等现象都可以用指数增长来描述。
指数衰变
指数衰变（Exponential Decay）描述了某一量随着时间的增加以指数函数的形式衰减。公式为：
y ( t ) = y 0 ⋅ e − k t y(t) = y_0 \cdot e^{-kt} y(t)=y0⋅e−kt
其中：
- y ( t ) y(t) y(t) 表示时间 t t t 时的数量；
- y 0 y_0 y0 表示初始数量；
- k k k 表示衰减率（常为正值）；
- e e e 表示自然常数。
指数衰变的特点是，随着时间的推移，数量减少得越来越慢，曲线呈逐渐平缓的下降趋势。放射性衰变、电容器放电等现象通常用指数衰变模型来描述。
区别
- 方向：指数增长是随着时间增加而增加，指数衰变是随着时间增加而减少。
- 公式中的符号：指数增长公式中的指数为正值，而指数衰变公式中的指数为负值。
- 应用场景：增长模型常用于人口增长、投资回报等，而衰减模型常用于物理衰减、化学反应等。