保研考研机试攻略：第三章——数学（2）
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目录
🧊🧊🧊3.5 素数判定
🥥例题：DreamJudge 1013
🥥练习题目：
DreamJudge 1355 素数判定 - 哈尔滨工业大学
🧊🧊🧊3.6 素数筛选（🌷记模板）
🥥例题：DreamJudge 1102
🥥练习题目：
DreamJudge 1375 素数
🧊🧊🧊3.7 分解素因数
🥥例题：DreamJudge 1156
🥥练习题目：
DreamJudge 1284 整除问题 🍰
DreamJudge 1464 最大素因子
🧊🧊🧊3.5 素数判定
先说什么是素数？素数就是其因子只有1和本身。
那么如何判断一个数x是不是素数呢？我们可以根据素数的定义从2到小于这个数x的每个数去判断当前数是否为x的因子，也就是说，如果x有除了1和本身以外的因子，那他就不是素数。
一般情况下，我们没有必要判断这么多个数，只用判断到sqrt(x)就停止了。这是因为，如果比 sqrt(x)大的数是其因子的话，就必然存在一个比sqrt(x)小的数是其因子。
🥥例题：DreamJudge 1013
首先判断输入的 n 是不是一个素数，如果是的话就直接输出。如果不是的话，从 n+1 开始，对每个数去判断它是不是一个素数，直到找到一个素数的时候终止。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {int n;scanf("%d", &n);if (n == 1) n++;//1 不是素数for (int i = n; ; i++) {int flag = 0;for (int j = 2; j <= sqrt(i); j++) {if (i % j == 0) {//如果找到了约数flag = 1;//说明不是素数break;}}if (flag == 0) {printf("%d\n", i);break;}}return 0;
}🥥练习题目：
DreamJudge 1355 素数判定 - 哈尔滨工业大学
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool sushu(long long x)
{if(x==0||x==1||x<0) return false;for(long long i=2;i<x;i++) {if(x%i==0) return false;}return true;
}
int main()
{long long n;while(cin>>n){if(sushu(n)) cout<<"yes"<<endl;else cout<<"no"<<endl;}return 0;
}🧊🧊🧊3.6 素数筛选（🌷记模板）
有时，题目要求我们筛选出一段区间内的素数，我们就需要掌握一种素数筛选的方法。
如果用上一节素数判定的方法去判定每一个数是不是素数的话，复杂度是 O(n*sqrt(n))，大概只能处理到 1e4 以内的数，如果题目要求的范围大，我们就需要一种更为高效的筛选法。
掌握下面这一种线性复杂度的筛选方法就足够我们应对任何情况：
// 线性素数筛选 prime[0]存的是素数的个数
const int maxn = 1e6 + 5;
int prime[maxn]={0};
void getPrime() {for (int i = 2; i <= maxn; i++) {if (!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;for (int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] * i <= maxn; j++) {prime[prime[j] * i] = 1;if (i % prime[j] == 0) break;}}
}🥥例题：DreamJudge 1102
这道题的数据范围不大，可以用挨个暴力判断的方法解决。我们假设这道题的数据范围很大，使用素数筛选的方法来解决这个问题。
🥥练习题目：
DreamJudge 1375 素数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool prime(int x)
{if(x==1||x==0||x<0) return false;for(int i=2;i<x;i++){if(x%i==0) return false;}return true;
}int main()
{int n,flag=0;while(cin>>n){flag=0;for(int i=2;i<n;i++){if(prime(i)){if(i%10==1) {cout<<i<<" ";flag=1;}}}if(flag==0) cout<<-1;cout<<endl;}return 0;
}🧊🧊🧊3.7 分解素因数
对于任意一个大于1的整数，我们都可以把它分解成多个质因子相乘的形式。
🥥例题：DreamJudge 1156
这道题目，我们可以用上一节学的素数筛选，先将所有的素数筛选出来。然后再不断的分解素数，直到将数分解到 1 为止。由于我们的素数筛选只能到 1000000，对于更大的素因子我们可以不继续分解，因为不会存在两个大于 1000000 的素因子，如果存在，那么这个数的范围一定大于题目所给的范围 10^9。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 线性素数筛选 prime[0]存的是素数的个数
const int maxn = 1000000 + 5;
int prime[maxn];
void getPrime() {memset(prime, 0, sizeof(prime));for (int i = 2; i <= maxn; i++) {if (!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;for (int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] * i <= maxn; j++) {prime[prime[j] * i] = 1;if (i % prime[j] == 0) break;}}
}
int main() {getPrime();//先进行素数筛选预处理int n;while (scanf("%d", &n) != EOF) {int ans = 0;for (int i = 1; i <= prime[0]; i++) {while (n % prime[i] == 0) {//while就是为了解决重复因子的情况n /= prime[i];ans++;}}if (n > 1) ans++;printf("%d\n", ans);}return 0;
}🥥练习题目：
DreamJudge 1284 整除问题 🍰
//题解摘自N诺评论区用户：可以吖
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//getPrime就是统计质因子个数的。
void getPrime(vector<int>& factors, int n){for(int i=2; i*i<=n; i++){while(n % i == 0){factors[i]++;//相当于用数组计数，因为题中范围不大，所以可以直接开辟一个1000的数组。//并不是所有位置都用，只有成为n以及后面n--的质因子的位置才用。确实是稍微浪费了一些空间。n /= i;//这一步就是为了知道该数字有多少了等于i的质因子。比如单独考虑，12=2*2*3，里面有两个2，一个3。//则这一步以后factors[2]==2,factors[3]==1。if(n <= 1) return;}}if(n > 1) factors[n]++;//自身是一个。
}int main()
{int n,a;while(cin>>n>>a){vector<int> factor_a(1000), factor_n(1000);getPrime(factor_a,a);for(int i=2;i<=n;i++)getPrime(factor_n,i);//在i的质因子统计完以后，factor的已经存了个数，后续也是在这个基础上加int k=1000;for(int i=2;i<=a;i++)//为什么小于a，上述文字已经说明{if(factor_a[i])k=min(k,factor_n[i]/factor_a[i]);//注意前文定义k为int型。}cout<<k<<endl;}return 0;
}
DreamJudge 1464 最大素因子
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isprime(int x)
{if(x==1||x==0||x<0) return false;for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){if(x%i==0) return false;}return true;
}
int main()
{int n;while(cin>>n){string s;for(int i=0;i<n;i++){cin>>s;string cur="";for(int j=0;j<s.size();j++){if(s[j]>='0'&&s[j]<='9') cur+=s[j];}int num=0;for(int j=0;j<cur.size();j++) num=num*10+(cur[j]-'0');//cout<<cur<<" "<<num<<endl;//if(cur.size()==0||num==0) {//cout<<"yes3"<<endl;//cout<<0<<endl;continue;}if(isprime(num)) {//cout<<"yes"<<endl;//cout<<num<<endl;continue;}//cout<<num<<endl;//for(int j=num-1;j>=2;j--) {if(num%j==0){//cout<<j<<" yes2"<<endl;//cout<<j<<endl;break;}}}}return 0;
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