【数学分析笔记】第2章第3节无穷大量（1）
2. 数列极限
2.3 无穷大量
像 { n 2 } , { ( − 2 ) n } , { − 1 0 n } , . . . \{n^{2}\},\{(-2)^{n}\},\{-10^{n}\},... {n2},{(−2)n},{−10n},...这样的数列有一个共同的特点，随着 n n n不断地增加，数列通项的绝对值越来越大，这个大没有上限，其中 { n 2 } , \{n^{2}\}, {n2},是正无穷大量， { ( − 2 ) n } \{(-2)^{n}\} {(−2)n}是不定号的无穷大量， { − 1 0 n } \{-10^{n}\} {−10n}是负无穷大量，像这样的数列对应的就是无穷大量（白话文版本），其严格定义为：
【定义2.3.1】若对任意给定的 G > 0 G>0 G>0，可以找到正整数 N N N，使得当 n > N n>N n>N时成立 ∣ x n ∣ > G |x_{n}|>G ∣xn∣>G，则称数列 { x n } \{x_{n}\} {xn}是无穷大量，记为 lim n → ∞ x n = ∞ \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty n→∞limxn=∞，数列 { x n } \{x_{n}\} {xn}是发散的。
符号表示： ∀ G > 0 , ∃ N , ∀ n > N : ∣ x n ∣ > G \forall G>0,\exists N,\forall n>N:|x_{n}|>G ∀G>0,∃N,∀n>N:∣xn∣>G
lim n → ∞ n 2 = + ∞ , lim n → ∞ ( − 1 0 n ) = − ∞ , lim n → ∞ ( − 2 ) n = ∞ \lim\limits_{n\to\infty}n^{2}=+\infty,\lim\limits_{n\to\infty}(-10^{n})=-\infty,\lim\limits_{n\to\infty}(-2)^{n}=\infty n→∞limn2=+∞,n→∞lim(−10n)=−∞,n→∞lim(−2)n=∞（最后一个是不定号的无穷大量）
对于正无穷大量，负无穷大量和不定号的无穷大量，定义的式子可分类写成：
- 正无穷大量： ∀ G > 0 , ∃ N , ∀ n > N : x n > G \forall G>0,\exists N,\forall n>N:x_{n}>G ∀G>0,∃N,∀n>N:xn>G
- 负无穷大量： ∀ G > 0 , ∃ N , ∀ n > N : x n < − G \forall G>0,\exists N,\forall n>N:x_{n}<-G ∀G>0,∃N,∀n>N:xn<−G
- 不定号的无穷大量： ∀ G > 0 , ∃ N , ∀ n > N : ∣ x n ∣ > G \forall G>0,\exists N,\forall n>N:|x_{n}|>G ∀G>0,∃N,∀n>N:∣xn∣>G
【例2.3.1】设 ∣ q ∣ > 1 |q|>1 ∣q∣>1，证明 { q n } \{q^{n}\} {qn}是无穷大量。
【证】 ∀ G > 0 \forall G>0 ∀G>0（只考虑大的）
∀ G > ∣ q ∣ \forall G>|q| ∀G>∣q∣， ∣ q n ∣ = ∣ q ∣ n > G |q^{n}|=|q|^{n}>G ∣qn∣=∣q∣n>G
即 n > log ∣ q ∣ G = lg G lg ∣ q ∣ n>\log_{|q|}G=\frac{\lg G}{\lg |q|} n>log∣q∣G=lg∣q∣lgG
则取 N = [ lg G lg ∣ q ∣ ] N=[\frac{\lg G}{\lg |q|}] N=[lg∣q∣lgG]（ lg G > lg ∣ q ∣ \lg G > \lg |q| lgG>lg∣q∣且 G > ∣ q ∣ > 1 G>|q|>1 G>∣q∣>1，所以 lg G > 0 , lg ∣ q ∣ > 0 , lg G lg ∣ q ∣ > 1 \lg G>0,\lg |q|>0,\frac{\lg G}{\lg |q|}>1 lgG>0,lg∣q∣>0,lg∣q∣lgG>1，所以 [ lg G lg ∣ q ∣ ] ≥ 1 [\frac{\lg G}{\lg |q|}]\ge 1 [lg∣q∣lgG]≥1）
∀ n > N , ∣ q n ∣ = ∣ q ∣ n > G \forall n > N,|q^{n}|=|q|^{n}>G ∀n>N,∣qn∣=∣q∣n>G
即 { q n } \{q^{n}\} {qn}是无穷大量。
【例2.3.2】证明 { n 2 − 1 n + 5 } \{\frac{n^{2}-1}{n+5}\} {n+5n2−1}是无穷大量。
【证】 ∀ G > 0 , ∣ n 2 − 1 n + 5 ∣ \forall G>0,|\frac{n^{2}-1}{n+5}| ∀G>0,∣n+5n2−1∣（采用缩小，缩小以后大于 G G G，则没缩小之前肯定大于 G G G）
则 ∣ n 2 − 1 n + 5 ∣ > ∣ n 2 n + 5 ∣ |\frac{n^{2}-1}{n+5}|>|\frac{n^{2}}{n+5}| ∣n+5n2−1∣>∣n+5n2∣
（为了让下面的分母变成 k n kn kn好约分，我们知道 n n n是无限项后才有无穷大量的定义，我们可以在分母那里试乘一下 k k k，可以从2试起来）
即 ∣ n 2 − 1 n + 5 ∣ > ∣ n 2 2 n ∣ |\frac{n^{2}-1}{n+5}|>|\frac{n^{2}}{2n}| ∣n+5n2−1∣>∣2nn2∣
令 n 2 − 1 n + 5 > n 2 2 n \frac{n^{2}-1}{n+5}>\frac{n^{2}}{2n} n+5n2−1>2nn2
2 n ( n 2 − 1 ) > n 2 ( n + 5 ) 2n(n^{2}-1)>n^{2}(n+5) 2n(n2−1)>n2(n+5)
即 2 n 2 − 2 > n 2 + 5 n 2n^{2}-2>n^{2}+5n 2n2−2>n2+5n
亦即 n 2 − 5 n − 2 > 0 n^{2}-5n-2>0 n2−5n−2>0
因为我们要解的 n n n是一个整数， n > 0 n>0 n>0，且 n n n越大越好。
即 n > 5 + 25 − 4 × ( − 2 ) 2 = 5 + 33 2 n>\frac{5+ \sqrt{25-4\times(-2)}}{2}=\frac{5+ \sqrt{33}}{2} n>25+25−4×(−2)=25+33
可以继续放大 n > 5 + 36 2 = 5.5 n>\frac{5+ \sqrt{36}}{2}=5.5 n>25+36=5.5
即 n > 5 n>5 n>5（因为 n n n是正整数）
所以当 n > 5 n>5 n>5时，要使得 ∣ n 2 − 1 n + 5 ∣ > ∣ n 2 2 n ∣ = n 2 > G |\frac{n^{2}-1}{n+5}|>|\frac{n^{2}}{2n}|=\frac{n}{2}>G ∣n+5n2−1∣>∣2nn2∣=2n>G
取 N = max { [ 2 G ] , 5 } , ∀ n > N : ∣ n 2 − 1 n + 5 ∣ > ∣ n 2 2 n ∣ = n 2 > G N=\max\{[2G],5\},\forall n>N:|\frac{n^{2}-1}{n+5}|>|\frac{n^{2}}{2n}|=\frac{n}{2}>G N=max{[2G],5},∀n>N:∣n+5n2−1∣>∣2nn2∣=2n>G
所以 { n 2 − 1 n + 5 } \{\frac{n^{2}-1}{n+5}\} {n+5n2−1}是无穷大量。
- 【定理2.3.1】 x n ≠ 0 x_{n}\ne 0 xn=0
，则 { x n } \{x_{n}\} {xn}是无穷大量的充要条件是 { 1 x n } \{\frac{1}{x_{n}}\} {xn1}是无穷小量。
【证】设 { x n } \{x_{n}\} {xn}是无穷大量，要证 { 1 x n } \{\frac{1}{x_{n}}\} {xn1}是无穷小量
∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ∀ε>0令 G = 1 ε > 0 G=\frac{1}{\varepsilon}>0 G=ε1>0， ∃ N , ∀ n > N : ∣ x n ∣ > G = 1 ε ⇒ ∣ 1 x n ∣ < 1 ε \exists N,\forall n>N:|x_{n}|>G=\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow |\frac{1}{x_{n}}|<\frac{1}{\varepsilon} ∃N,∀n>N:∣xn∣>G=ε1⇒∣xn1∣<ε1
设是 { 1 x n } \{\frac{1}{x_{n}}\} {xn1}是无穷小量，要证 { x n } \{x_{n}\} {xn}是无穷大量。
∀ G > 0 \forall G>0 ∀G>0，令 ε = 1 G > 0 , ∃ N , ∀ n > N : ∣ 1 x n ∣ < ε = 1 G ⇒ ∣ x n ∣ > G \varepsilon = \frac{1}{G}>0,\exists N,\forall n>N:|\frac{1}{x_{n}}|<\varepsilon= \frac{1}{G}\Rightarrow|x_{n}|>G ε=G1>0,∃N,∀n>N:∣xn1∣<ε=G1⇒∣xn∣>G
综上所述 x n ≠ 0 x_{n}\ne 0 xn=0
，则 { x n } \{x_{n}\} {xn}是无穷大量的充要条件是 { 1 x n } \{\frac{1}{x_{n}}\} {xn1}是无穷小量。