【Java】/* 与树有关的一些概念 */

一、关于树的一些概念

1. 树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

        ① 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。

        ② 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

        ③ 树是递归定义的。

2. 注意：

        ① 子树是不相交的。

        ② 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父结点。

        ③ 一颗N个节点的树有N-1条边。

3. 一些重要概念：

① 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6。

② 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6。

③ 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

④ 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点。

⑤ 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点。

⑥ 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A。

⑦ 结点的层次==节点的深度：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

⑧ 树的高度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4。

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树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

① 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点。

② 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点。

③ 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点。

④ 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先。

⑤ 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙。

⑥ 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林。

4. 树的应用：文件系统管理(文件夹)

二、关于二叉树的概念

1. 二叉树除叶子节点外，其他的节点的度都小于等于2。

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

3. 节点个数为0 或 1的树也可以被认为是二叉树。

4. 二叉树中特殊的两种树：

① 满二叉树：除叶子节点以外，其他的节点的度都为2。

② 完全二叉树：从上到下，从左至右，依次排放。满二叉树是特殊的完全二叉树。

5. 二叉树的性质：

① 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点

② 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是(k>=0)

③ 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1 ④ 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整。

⑤ 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

     - 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

     - 若2i+1 < n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

     - 若2i+2 < n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

6. 题目：

- 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为200个。

- 2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为n。

  解答：2n = n0 + n1 + n2，由于2n一定是偶数，则n1 = 1，2n = n0 + n0 - 1 + 1，得n = n0

- 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为384。

  解答：767 = n0 + n1 + n2，由于767为奇数，则n1 = 0，767 = n0 + n0 - 1, n0 = 384

- 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为10。

  解答：由性质4可知 532 在 2 的9 ~ 10次方之间，由于结果向上取整，则树的高度为10。

7. 二叉树的存储方式也分为 顺序存储 和 链式存储。二叉树基本操作部分的代码采用链式存储，节点的表示形式用左右孩子表示法来表示。

8. 二叉树的遍历方式：

    ① 前序遍历：根 左 右

    ② 中序遍历：左 根 右

    ③ 后序遍历：左 右 根

    ④ 层序遍历：从上到下，从左到右，依次遍历。

9. 题目：

- 写出下图的前中后序遍历

   答：前序：ABDEHCFG

          中序：DBEHAFCG

          后序：DHEBFGCA

- 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为：ABDHECFG。

  答：依据题意画出图形：

- 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为E。

  答：根据先序，中序遍历画出图形如下图：

- 设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为abcde。

  答：根据中序，后序遍历画出图形如下图：（d之所以连c不连e是因为，如果e有子，则横向看一定不会隔一个父节点）

- 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为FEDCBA。

  答：根据中序，后序遍历画出图形如下图：

【总结】：画图的关键点，前序的第一个节点一定是根节点，后序的最后一个节点一定是根节点，画图时左侧侧边栏为前序/后续，且一定要以根节点开头，下侧侧边栏为中序。