二叉树的介绍

二叉树

• 本文讲述了二叉树的类型，及其两种表示方法（链式、数组式）和三种递归式遍历方法（前序、中序、后序）；之后，介绍了二叉搜索树的常见操作（查找、插入、删除）及其应用（中序遍历二叉搜索树可以将节点按照升序进行排序，平均时间复杂度为log(n) ）。

「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的 分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。

• 二叉树节点结构体

  /* 二叉树节点结构体 */
  struct TreeNode {int val; 			// 节点值TreeNode *left; 	// 左子节点指针TreeNode *right; 	// 右子节点指针TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}	//构建函数
  };
  

• 常见术语

  • 根节点：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
  • 叶节点：没有子节点的节点，其两个指针均指向 None
  • 边 ：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
  • 节点所在的层：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
  • 节点的度：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
  • 二叉树的高度：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
  • 节点的深度：从根节点到该节点所经过的边的数量。
  • 节点的高度：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。
  • 

1. 二叉树类型

1.1 完美（满）二叉树 perfect binary tree

除了最底层外，其余所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，除叶节点外，其余所有节点的度都为 2 ；若树高度为 ℎ ，则节点总数为 2 ℎ+1 − 1 ，呈现标准的指数级关系， 反映了自然界中常见的细胞分裂现象。

1.2 完全二叉树 complete binary tree

只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左。

1.3 完满二叉树 full binary tree

除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

1.4 平衡二叉树 balanced binary tree

任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1

2. 二叉树的表示

2.1 链表表示法

/* 1.初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);//构建引用指向（即指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;/* 2.插入与删除节点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;/*3.前序遍历 */
void preOrder(TreeNode *root) {if (root == nullptr)return;// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树vec.push_back(root->val);preOrder(root->left);preOrder(root->right);
}/* 4.中序遍历 */
void inOrder(TreeNode *root) {if (root == nullptr)return;// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树inOrder(root->left);vec.push_back(root->val);inOrder(root->right);
}/* 5.后序遍历 */
void postOrder(TreeNode *root) {if (root == nullptr)return;// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点postOrder(root->left);postOrder(root->right);vec.push_back(root->val);
}

2.2 数组表示法

• 我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若节点的索引为 𝑖 ，则该节点的左子节点索引为 2𝑖+1，右子节点索引为2𝑖+2，父节点索引为（𝑖-1)/2。但在二叉树中通常存在许多 None ，需要在层序遍历序列中显式地写出所有 None （例如，使用 int 最大值 INT_MAX 标记空位），这样处理后，层 序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值 INT_MAX 标记空位
vector<int> tree = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};

• 值得说明的是，完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，None 只出现在最底层且靠右的位置，因此所有 None 一定出现在层序遍历序列的末尾。 这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 None ，非常方便。

• 以下代码实现了一个基于数组表示的二叉树

  /* 数组表示下的二叉树类 */
  class ArrayBinaryTree {
  public:/* 构造方法 */ArrayBinaryTree(vector<int> arr) { tree = arr; }/* 节点数量 */int size() {return tree.size();}/* 获取索引为 i 节点的值 */int val(int i) {// 若索引越界，则返回 INT_MAX ，代表空位if (i < 0 || i >= size())return INT_MAX;return tree[i];}/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */int left(int i) {return 2 * i + 1;}/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */int right(int i) {return 2 * i + 2;}/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */int parent(int i) {return (i - 1) / 2;}/* 层序遍历 */vector<int> levelOrder() {vector<int> res;// 直接遍历数组for (int i = 0; i < size(); i++) {if (val(i) != INT_MAX)res.push_back(val(i));}return res;}/* 前序遍历 */vector<int> preOrder() {vector<int> res;dfs(0, "pre", res);return res;}/* 中序遍历 */vector<int> inOrder() {vector<int> res;dfs(0, "in", res);return res;}/* 后序遍历 */vector<int> postOrder() {vector<int> res;dfs(0, "post", res);return res;}private:vector<int> tree;/* 深度优先遍历 deep first search */void dfs(int i, string order, vector<int> &res) {// 若为空位，则返回if (val(i) == INT_MAX)return;// 前序遍历if (order == "pre")res.push_back(val(i));dfs(left(i), order, res);// 中序遍历if (order == "in")res.push_back(val(i));dfs(right(i), order, res);// 后序遍历if (order == "post")res.push_back(val(i));}
  };
  

• 二叉树的数组表示主要有以下优点：

  • 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
  • 不需要存储指针，比较节省空间。
  • 允许随机访问节点。

• 然而，数组表示也存在一些局限性：

  • 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
  • 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
  • 当二叉树中存在大量 None 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。

3. 二叉搜索树 binary search tree

二叉搜索树满足以下条件：

1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值。
2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件1。

• 我们将二叉搜索树封装为一个类 ArrayBinaryTree ，并声明一个成员变量 root ，指向树的根节点。

3.1 二叉搜索树的操作

1. 查找节点

• 给定要查找的目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。先声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系：

  • 若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
  • 若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。
  • 若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

• 二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的 高度，当二叉树平衡时，使用 𝑂(log 𝑛) 时间。

  /* 查找节点 */
  TreeNode *search(int num) {TreeNode *cur = root;// 循环查找，越过叶节点后跳出while (cur != nullptr) {// 目标节点在 cur 的右子树中if (cur->val < num)cur = cur->right;// 目标节点在 cur 的左子树中else if (cur->val > num)cur = cur->left;// 找到目标节点，跳出循环elsebreak;}// 返回目标节点return cur;
  }
  

2. 插入节点

• 给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图所示:

  • 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直 到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
  • 在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。

  

• 在代码实现中，需要注意以下两点:

  • 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插 入，直接返回。
  • 为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以 获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

  /* 插入节点 */
  void insert(int num) {// 若树为空，则初始化根节点if (root == nullptr) {root = new TreeNode(num);return;}TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;// 循环查找，越过叶节点后跳出while (cur != nullptr) {if (cur->val == num)	// 找到重复节点，直接返回return;pre = cur;if (cur->val < num)		// 插入位置在 cur 的右子树中cur = cur->right;else					// 插入位置在 cur 的左子树中cur = cur->left;}// 插入节点TreeNode *node = new TreeNode(num);if (pre->val < num)pre->right = node;elsepre->left = node;
  }
  

  • 与查找节点相同，插入节点使用 𝑂(log 𝑛) 时间。

3. 删除节点

• 先在二叉树中查找到目标节点，再将其从二叉树中删除。 与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的性质仍然满足。 因此，我们需要根据目标节点的子节点数量，共分为 0、1 和 2 这三种情况，执行对应的删除节点操作。 如图所示：

  • 当待删除节点的度为 0 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。

    

  • 当待删除节点的度为 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

    

  • 当待删除节点的度为 2 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树 “左 < 根 < 右”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。

    • 假设我们选择右子树的最小节点（即中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下：

      • 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。

      • 将 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。

        

      代码如下：

      /* 删除节点 */
      void remove(int num) {    if (root == nullptr)	// 若树为空，直接提前返回return;TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;while (cur != nullptr) {	// 循环查找，越过叶节点后跳出        if (cur->val == num)	// 找到待删除节点，跳出循环break;pre = cur;if (cur->val < num)		// 待删除节点在 cur 的右子树中cur = cur->right;else					// 待删除节点在 cur 的左子树中cur = cur->left;}if (cur == nullptr)			// 若无待删除节点，则直接返回return;// 待删除节点的子节点数量 = 0 或 1if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {// 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;// 删除节点 curif (cur != root) {if (pre->left == cur)pre->left = child;elsepre->right = child;} else {root = child;	// 若删除节点为根节点，则重新指定根节点}// 释放内存delete cur;}else {		// 子节点数量 = 2// 获取中序遍历中 cur 的下一个节点TreeNode *tmp = cur->right;while (tmp->left != nullptr) {tmp = tmp->left;}int tmpVal = tmp->val;// 递归删除节点 tmpremove(tmp->val);// 用 tmp 覆盖 curcur->val = tmpVal;}
      }
      

4. 节点遍历

• 二叉搜索树满足“左子节点 < 根 节点 < 右子节点”的大小关系，二叉树的中序遍历遵循“左 → 根 → 右”的遍历顺序，这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉 搜索树的中序遍历序列是升序的。利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 𝑂(𝑛) 时间，无须进行额外的排序操作， 非常高效。

5. 二叉搜索树的应用

• 二叉搜索树的各项操作（查找、插入、删除）的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。但如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 𝑂(𝑛) 。

  

• 二叉搜索树常见应用：

  • 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
  • 作为某些搜索算法的底层数据结构。
    节点 < 右子节点”的大小关系，二叉树的中序遍历遵循“左 → 根 → 右”的遍历顺序，这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉 搜索树的中序遍历序列是升序的。利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 𝑂(𝑛) 时间，无须进行额外的排序操作， 非常高效。

5. 二叉搜索树的应用

• 二叉搜索树的各项操作（查找、插入、删除）的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。但如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 𝑂(𝑛) 。

  [外链图片转存中…(img-kX4RgCAL-1724514112382)]

• 二叉搜索树常见应用：

  • 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
  • 作为某些搜索算法的底层数据结构。
  • 用于存储数据流，以保持其有序状态。