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分块矩阵的转置

news 来源：原创 2024/9/20 9:41:20

证明A = \left( \begin{matrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr}\end{matrix} \right)     则A^T = \left( \begin{matrix} A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T \end{matrix} \right)

证明：令A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} A_{11} & \cdots & A_{1r} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{s1} & \cdots & A_{sr}\end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{matrix} \right)，有A^T_{n \times m}= \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{mn}\end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm}\end{matrix} \right)，对它做一个分块A^T= \left( \begin{matrix} C_{11} & \cdots & C_{1s} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ C_{r1} & \cdots & C_{rs} \end{matrix} \right)使得C_{ij}和后面的分块矩阵中的B_{ij}是同型矩阵，要证明A^T = \left( \begin{matrix} A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} B_{11} & \cdots & B_{1s} \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ B_{r1} & \cdots & B_{rs} \end{matrix} \right)（任意的B_{ij}= A_{ji}^T），需要证明1）D = \left( \begin{matrix} A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\ \vdots & \qquad & \vdots \\ A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T \end{matrix} \right)是一个n \times m的矩阵  2）任意的C_{ij} = B_{ij}

       首先证明1）我们先定义两个函数L和H，L用于获取矩阵分块包含的列数，H用于获取矩阵分块包含的行数，令H( A_{ij}) = h_i有h_1+h_2+ \cdots + h_s = m，令L(A_{ij}) = l_j有l_1+l_2+\cdots+l_r=n，还有H(B_{ij}) = H(A_{ji}^T) = L(A_{ji}) = l_i，L(B_{ij}) = L(A_{ji}^T) = H(A_{ji}) = h_j，容易求出D是一个n \times m的矩阵。

        接下来证明2）要证明C_{ij} = B_{ij}，只需要证明(C_{ij})_{uv} = (B_{ij})_{uv}

先求(C_{ij})_{uv}，H((C_{ij})_{11}) = \sum_{k=1}^{i-1}H(C_{kj}) + 1 = \sum_{k=1}^{i-1}H(B_{kj}) + 1 = \sum_{k=1}^{i-1}l_k + 1，

L((C_{ij})_{11}) = \sum_{k=1}^{j-1}L(C_{ik}) + 1 = \sum_{k=1}^{j-1}L(B_{ik}) + 1 = \sum_{k=1}^{j-1}h_k + 1，

所以(C_{ij})_{uv} = b_{\sum_{k=1}^{i-1}l_k+u, \sum_{k=1}^{j-1}h_k+v} = a_{\sum_{k=1}^{j-1}h_k+v, \sum_{k=1}^{i-1}l_k+u} = (A_{ji})_{vu}

再求(B_{ij})_{uv}，(B_{ij})_{uv} = (A_{ji}^T)_{uv} = (A_{ji})_{vu}

所以(C_{ij})_{uv} = (B_{ij})_{uv}成立，所以C_{ij} = B_{ij}

       综上所述结论成立。

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