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数学基础 -- 线性代数之矩阵的逆

news 来源：原创 2024/9/19 16:04:35

矩阵的逆

矩阵的逆在线性代数中是一个重要的概念，尤其在解线性方程组、矩阵分解、线性变换等领域有广泛应用。逆矩阵的概念和性质类似于实数中的倒数，既给定一个矩阵 $A$ ，其逆矩阵 $A^{-1}$ 满足 $\times A^{-1} = I$ ，其中 $I$ 是单位矩阵。

1. 逆矩阵的定义

设 $A$ 是一个 $\times n$ 的方阵，如果存在一个矩阵 $B$ 满足：
$\times B = B \times A = I$
则称矩阵 $A$ 是可逆的，矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$ 。在这种情况下，矩阵 $A$ 和 $B$ 必须是同一维度的方阵。

2. 逆矩阵的性质

唯一性：如果矩阵 $A$ 的逆矩阵存在，则它是唯一的。
乘积的逆：如果 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵，那么 $A B$ 的逆矩阵是 $B^{-1}A^{-1}$ ，即：
$AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
转置的逆：如果 $A$ 是可逆矩阵，那么 $A^T$ （即 $A$ 的转置矩阵）也是可逆的，且 $A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ 。
逆矩阵的逆： $A^{-1})^{-1} = A$ 。

3. 逆矩阵的存在性条件

并非所有矩阵都有逆矩阵。一个矩阵 $A$ 是可逆的，当且仅当它满足以下条件：

行列式不为零：对于 $\times n$ 的矩阵 $A$ ，如果其行列式 $\text{det}(A) \neq 0$ ，则 $A$ 是可逆的。
满秩矩阵：矩阵 $A$ 是满秩矩阵，即矩阵的秩等于 $n$ ，它是可逆的。
线性无关列：矩阵的列向量是线性无关的，这意味着方程 $A\mathbf{x} = 0$ 只有零解。

4. 逆矩阵的计算方法

4.1 伴随矩阵法（适用于小规模矩阵）

对于 $\times n$ 的矩阵 $A$ ，其逆矩阵可以通过以下公式计算：
$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)$
其中， $\text{adj}(A)$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵，伴随矩阵是由矩阵的代数余子式构成的转置矩阵。

4.2 初等变换法（高斯-若尔当消元法）

这个方法适合用于计算任意大小的矩阵逆。步骤如下：

将矩阵 $A$ 和单位矩阵 $I$ 拼接形成一个增广矩阵 $[A ∣ I]$ 。
通过一系列行变换，将 $A$ 变换为单位矩阵 $I$ 。
对应的单位矩阵右边变换成的矩阵即为 $A$ 的逆矩阵。

4.3 LU 分解

如果矩阵 $A$ 可以分解为 $A = LU$ ，其中 $L$ 是下三角矩阵， $U$ 是上三角矩阵，那么通过求解两个三角矩阵的逆矩阵 $L^{-1}$ 和 $U^{-1}$ ，最终可以得到 $A^{-1}$ 。

5. 逆矩阵的应用

线性方程组的解：对于线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ，如果矩阵 $A$ 可逆，解可以通过 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ 得到。
矩阵分解与求解：逆矩阵在矩阵分解方法（如 Cholesky 分解、QR 分解等）中起关键作用。
线性变换的逆变换：在几何中，线性变换对应的矩阵如果可逆，那么其逆矩阵可以用于求解逆变换的问题。

6.求矩阵的逆矩阵

示例

给定一个 $\times 2$ 矩阵：

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

我们的目标是找到矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 。

步骤 1：计算矩阵 $A$ 的行列式

行列式 $\text{det}(A)$ 计算如下：

$\text{det}(A) = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5$

由于 $\text{det}(A) \neq 0$ ，矩阵 $A$ 有逆矩阵。

步骤 2：计算伴随矩阵

伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 是通过将矩阵 $A$ 的余子式矩阵的转置获得的。

对于矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ，伴随矩阵计算如下：

$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

将 $A$ 中的元素代入：

$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

步骤 3：求逆矩阵 $A^{-1}$

逆矩阵 $A^{-1}$ 计算如下：

$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{adj}(A)$

将行列式和伴随矩阵代入：

$A^{-1} = \frac{1}{5} \times \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

结果

矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 为：

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

验证

我们可以验证逆矩阵的正确性：

$\times A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$