「图」邻接矩阵|边集数组|邻接表 / LeetCode 35|33|81（C++）
概述
我们开始入门图论：图的存储。
图是一种高级数据结构：链表是一个节点由一条边指向下一个节点，二叉树是一个节点由两条边指向下两个节点，而图是由任意多个节点由任意多条边指向任意多个节点。
图由节点和边构成，边往往存在边权。边权在不同的问题中往往有不同含义，如在最短路径中表示边的长度，在AOE网中表示任务所需时间。
对于这种复杂的结构，如何存储在计算机的程序语言中呢？
我们先来介绍三种存储结构：邻接矩阵|边集数组|邻接表。
1.邻接矩阵
结构
邻接矩阵由一张二维数组直接构成。
我们称二维数组的每一行为row，整体为adjacency_matrix：
using row=vector<int>;
using adjacency_matrix = vector<vector<int>>;（using 的用法类似define宏定义）
你也可以使用最基本的：
int m[100][100];但失去了vector的动态性。
对于matrix[u][v]=w;表示从u节点到v节点的边权值为w。
形象理解：
复杂度
空间复杂度: O(n²)
n：节点数量
特点：
1.往往用于稠密图（如弗洛伊德最短路径算法的实现），即各点之间存在大量边相互连接。
2.支持按节点访问。
3.不能存储两点之间的多条边。
Code
using row=vector<int>;
using adjacency_matrix = vector<vector<int>>;
void add(adjacency_matrix& m) {int n; cin >> n;while (n--) {int u, v, w; cin >> u >> v >> w;m[u][v] = w;}
}
void get(const adjacency_matrix& m) {for (int i = 0; i < m.size(); i++)for (int j = 0; j < m[i].size(); j++)if (m[i][j])cout << " " << m[i][j] << endl << i << "------------->" << j << endl;
}2.边集数组
结构
边集数组由结构体edge作为元素组成数组。
edge具有成员变量int u,v,w；意为：此边从u出发抵达v，边权为w。
将edge数组称为edges：
struct edge{int u;int v;int w;
};
using edges=vector<edge>;对于edges[i]={u,v,w};表示第i条边从u节点出发抵达v节点，边权为w。
（边的序号通常时建立数组读入数据时编排的。）
形象理解：
复杂度
空间复杂度: O(m)
m：边数量
特点：
1.往往用于克鲁斯卡尔最小生成树算法的实现，或作为高级的图储存结构的成员。
2.不支持按节点访问。
3.能存储两点之间的多条边。
Code
struct edge{int u;int v;int w;
};
using edges=vector<edge>;
void add(edges& e) {int n; cin >> n;while (n--) {int u, v, w; cin >> u >> v >> w;e.push_back({ u,v,w });}
}
void get(const edges& e) {for(const edge& i:e)cout << " " << i.w << endl << i.u << "------------->" << i.v << endl;
}3.邻接表
结构
邻接表由结构体out_edge作为元素组成数组。
out_edge只描述节点的出边，而边的起始节点由数组下表提供。
out_edge具有成员变量v,w；意为：抵达v，边权为w。
将out_edge数组称为adjacency_list：
struct out_edge{int v;int w;
};
using adjacency_list=vector<vector<out_edge>>;对于adjacency_list[u][i]={v,w};表示从u节点出发的第i条边抵达v节点，边权为w。
形象理解：
复杂度
空间复杂度: O(n+m)
n：节点数量
m：边数量
复杂度分析：
邻接表数组共有n行，占O(n)，而所有行共有m个元素，占O(m)。
特点：
1.常用于各种图。
2.支持按节点访问。
3.能存储两点之间的多条边。
Code
struct out_edge{int v;int w;
};
using adjacency_list=vector<vector<out_edge>>;
void add(adjacency_list& l) {int n; cin >> n;while (n--) {int u, v, w; cin >> u >> v >> w;if(u>=l.size())l.resize(u + 1);l[u].push_back({ v,w });}
}
void get(const adjacency_list& l) {for (int i=0;i<l.size();i++)for(const out_edge j:l[i])cout << " " << j.w << endl << i << "------------->" << j.v << endl;
}测试Code
/*
11
1 2 20
2 1 30
2 0 30
4 3 100
8 9 60
9 7 40
3 6 50
5 6 20
7 8 15
2 4 30
1 3 5
以上为测试用例
*/
int main() {int test; cin >> test;switch (test) {case 1: {adjacency_matrix m(10, row(10,INT_MAX));cout << "------------input------------" << endl;add(m);cout << "------------output-----------" << endl;get(m);break;}case 2: {edges e;cout << "------------input------------" << endl;add(e);cout << "------------output-----------" << endl;get(e);break;}case 3: {adjacency_list l;cout << "------------input------------" << endl;add(l);cout << "------------output-----------" << endl;get(l);break;}}return 0;
}总结
以上三种是基本的图储存结构，我们后续会讲解链式邻接表和链式前向星，他们都是基于以上结构的高级存储手段。