积分第二中值定理的证明

1. 定义

$f$在$[a,b]$上可积
(1) $g(x)$在$[a,b]$上单调递减，且$\forall x\in [a,b],g(x)\ge 0$;
那么$\exists \xi \in [a,b],s.t.{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)dx$。
(2) $g(x)$在$[a,b]$上单调递增，且$\forall x\in [a,b],g(x)\ge 0$;
那么$\exists \xi \in [a,b],s.t.{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)dx$。

2. 证明

2.1 证明(1)

令$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,F(a)=0;{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)dt=F(x_i)-F(x_{i-1})$。
$f(x)$在$[a,b]$上可积，则积分上限函数$F(x)$在$[a,b]$上连续，且在$[a,b]$上有最大值和最小值。
M = sup ⁡ { F ( x ) : x ∈ [ a , b ] } , m = inf ⁡ { F ( x ) : x ∈ [ a , b ] } M = \sup\{F(x): x \in [a, b]\}, m = \inf\{ F(x): x \in [a, b]\} M=sup{F(x):x∈[a,b]},m=inf{F(x):x∈[a,b]}。
$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上有界；不妨设$|f(x)|<L,x\in [a,b]$。
由于$g(x)$单调，那么$g(x)$可积。
由$g(x)$可积得到，$\forall ϵ>0,\exists \pi :a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,s.t.\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\frac{ϵ}{L}$。
$f(x)$在$[a,b]$上可积，可得：
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx& =\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x)dx\\ & =\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_{i-1})+g(x_{i-1})]dx\\ & =\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_{i-1})]dx+\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x_{i-1})dx\end{array}$$
我们令$I={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx,I_1=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_{i-1})]dx,I_2=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x_{i-1})dx$;显然有$I=I_1+I_2$。
对于$I_1$, 有$I_1={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le \sum _{i=1}^n|f(x)||g(x)-g(x_{i-1})|dx\le L\sum _{i=1}^n|g(x)-g(x_{i-1})|dx\le L\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<L\frac{ϵ}{L}=ϵ$, 因此$I_1=0,I=I_2$。
对于$I_2=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x_{i-1})dx=\sum _{i=1}^{n}g(x_{i-1}){\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx$, 又${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx=F(x_i)-F(x_{i-1})$; 因此$I_2=\sum _{i=1}^{n}g(x_{i-1})(F(x_i)-F(x_{i-1}))$。
我们引入阿贝尔变换：
$$\begin{array}{rl}{A}_i=\sum _{j=1}^i{a}_i& \\ \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i+\sum _{i=2}^n{A}_{i-1}{b}_i=\sum _{i=1}^n{A}_i{b}_i& \\ \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i& =\sum _{i=1}^n{A}_i{b}_i-\sum _{i=2}^n{A}_{i-1}{b}_i\\ & =\sum _{i=1}^n{A}_i{b}_i-\sum _{i=1}^{n-1}{A}_i{b}_{i+1}\\ & =A_n{b}_n+\sum _{i=1}^{n-1}{A}_i(b_i-b_{i+1})\end{array}$$
将$I_2$作阿贝尔变换得$I_2=\sum _{i=1}^{n}g(x_{i-1})(F(x_i)-F(x_{i-1}))=\sum _{i=1}^{n-1}F(x_i)(g(x_{i-1})-g(x_i))+g(x_{n-1})F(x_n)$。\
由$m\le F(x)\le M,x\in [a,b]$, 将$I_2$值放缩不难得到$mg(a)\le I_2\le Mg(a)$; 即$I_2=\eta g(a),\eta \in [m,M]$。
由$F(x)$的介值性不难得到，$\exists \xi \in [a,b],s.t.F(\xi )=\eta$, 综上整理可得$\exists \xi \in [a,b],s.t.g(a){\int }_a^{\xi }f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$。

2.2 证明(2)

令$F(x)={\int }_x^{b}f(t)dt,F(b)=0;{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)dt=F(x_{i-1})-F(x_i)$。
$f(x)$在$[a,b]$上可积，则积分上限函数$F(x)$在$[a,b]$上连续，且在$[a,b]$上有最大值和最小值。
M = sup ⁡ { F ( x ) : x ∈ [ a , b ] } , m = inf ⁡ { F ( x ) : x ∈ [ a , b ] } M = \sup\{F(x): x \in [a, b]\}, m = \inf\{ F(x): x \in [a, b]\} M=sup{F(x):x∈[a,b]},m=inf{F(x):x∈[a,b]}。
$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上有界；不妨设$|f(x)|<L,x\in [a,b]$。
由于$g(x)$单调，那么$g(x)$可积。
由$g(x)$可积得到，$\forall ϵ>0,\exists \pi :a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,s.t.\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<\frac{ϵ}{L}$。
$f(x)$在$[a,b]$上可积，可得：
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx& =\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x)dx\\ & =\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_i)+g(x_i)]dx\\ & =\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_i)]dx+\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x_i)dx\end{array}$$
我们令$I={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx,I_1=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_i)]dx,I_2=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x_i)dx$;显然有$I=I_1+I_2$。
对于$I_1$, 有$I_1={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le \sum _{i=1}^n|f(x)||g(x)-g(x_i)|dx\le L\sum _{i=1}^n|g(x)-g(x_i)|dx\le L\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<L\frac{ϵ}{L}=ϵ$, 因此$I_1=0,I=I_2$。
对于$I_2=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x_i)dx=\sum _{i=1}^{n}g(x_i){\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx$, 又${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx=F(x_{i-1})-F(x_i)$; 因此$I_2=\sum _{i=1}^{n}g(x_i)(F(x_{i-1})-F(x_i))$。
对$I_2$作如下变化：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}g(x_i)(F(x_{i-1})-F(x_i))& =\sum _{i=1}^{n}g(x_i)F(x_{i-1})-\sum _{i=1}^{n}g(x_i)F(x_i)\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}g(x_{i+1})F(x_i)-\sum _{i=1}^{n}g(x_i)F(x_i)\\ & =g(x_1)F(x_0)+\sum _{i=1}^{n-1}(g(x_{i+1})-g(x_i))F(x_i)-g(x_n)F(x_n)(x_n=b,F(x_n)=F(b)=0)\\ & =g(x_1)F(x_0)+\sum _{i=1}^{n-1}(g(x_{i+1})-g(x_i))F(x_i)\end{array}$$
由$m\le F(x)\le M,x\in [a,b]$, 将$I_2$值放缩不难得到$mg(b)\le I_2\le Mg(b)$; 即$I_2=\eta g(a),\eta \in [m,M]$。
由$F(x)$的介值性不难得到，
$\exists \xi \in [a,b],s.t.F(\xi )=\eta$, 综上整理可得$\exists \xi \in [a,b],s.t.g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$。