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Math Reference Notes: 微积分概述

news 来源：原创 2024/9/19 15:42:53

微积分是数学中的一个重要分支，用于分析变化的速率以及累积量。它由两个主要部分构成：微分学和积分学，它们分别用于解决如何度量瞬时变化和累积变化的问题。微积分在物理、工程、经济学、计算机科学等领域有广泛应用。

1. 词源与历史

Calculus 这个词源自拉丁语，原意是“小石头”，古时候用石头来帮助进行计数。
现代意义上的“Calculus”诞生于17世纪，主要由艾萨克·牛顿（Isaac Newton） 和 戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz） 两位伟大的数学家独立发展出来。他们分别从不同角度发展了微积分，尽管两人的符号和表述不同，但核心思想一致。
- 牛顿主要研究物体的运动和变化率，侧重于力学方面的问题，例如物体在某一时刻的速度和加速度。
- 莱布尼兹则发展了更为一般的微积分理论，提出了我们今天所使用的微积分符号，并为其建立了坚实的数学基础。

2. 微积分的基本思想

微积分的核心是处理变化和累积的问题：

当我们想要知道某个函数在某一瞬间的变化速率时，我们使用微分。
当我们想要知道某个函数在一段区间内累积的量时，我们使用积分。

这两种操作都是基于对无穷小量（极其微小的变化）和无限过程的理解。

3. 微分学：研究变化速率

微分学（Differential Calculus）主要关注函数的导数（Derivative）。导数代表了函数在某一点的变化速率，即某一瞬间的变化速度。

3.1 导数的基本定义：

导数可以被视为函数图像在某一点处的切线斜率。给定一个函数 $f (x)$ ，它在某一点 $x$ 的导数 $f^{'} (x)$ 定义为：
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
这个公式表示当 $\Delta x$ 趋近于零时，函数的增量与自变量增量的比值。

3.2 微分学的实际应用：

速度与加速度：如果 $s (t)$ 表示某物体的位移函数，那么它的导数 $v (t) = s^{'} (t)$ 表示物体的速度，速度的导数 $a (t) = v^{'} (t)$ 表示加速度。
经济学：可以用导数来分析成本函数、收益函数、利润函数的边际变化。

4. 积分学：研究累积量

积分学（Integral Calculus）主要用于计算某个函数在一段区间内的累积值，即求面积。积分是导数的逆过程，通过积分，我们可以将微小的变化累加起来，得到一个整体的量。

4.1 积分的基本定义：

定积分可以理解为求函数图像和 x 轴之间的面积。给定一个函数 $f (x)$ ，它在区间 $[a, b]$ 上的定积分定义为：
$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$
这表示将区间 $[a, b]$ 分成很多很小的区间，然后计算每个小矩形的面积并相加。