【24华为杯数模研赛赛题思路已出】国赛F题第二套思路丨附参考代码丨免费分享
2024年数模研赛E题解题思路
X 射线脉冲星光子到达时间建模思路分析
该题目是天文学背景的数学建模题目，其涉及到物理学中关于光线传播过程受多种因素的共同干扰的复合模型，以及天体和卫星的坐标变换和运动模型，首先我们要，建立卫星轨道根数与其位置和速度关系的数学模型，该问题对应第一小问，然后在忽略太阳系天体的自转和扁率的情况下建立简化真空几何传播时延模型，即第二小问。在以上的基础上，进一步考虑更精确的物理效应，建立脉冲星光子到达航天器（卫星等）与太阳系质心之间的精确转换时延模型，即第三小问内容，最后综合以上内容，建立X 射线脉冲星光子序列模型并进一步仿真。
第1 问主要涉及坐标系转换的相关知识，之后的模型需要的知识为天文学相关内容，虽然涉及相对论部分，但是只需要简单应用，并非推导重点。
针对问题一
首先我们要明确，轨道根数的意义，原题目中给出了
其中常见的轨道根数如下
半长轴（a）：决定了轨道椭圆的长半轴长度，即轨道的大小。
偏心率（e）：表示轨道的扁平程度，是椭圆两焦点间的距离与长轴长度的比值。
轨道倾角（i）：轨道平面与地球赤道平面的夹角，表示轨道的倾斜程度。
升交点赤经（Ω）：从春分点到升交点之间的夹角，表示轨道在空间中的方位。
近地点幅角（ω）：升交点与地心连线和近地点与地心连线之间的夹角，表示近地点的位置。
真近点角(θ）：近地点和卫星所在位置矢径之间的夹角，表示卫星在轨道上的具体位置。
比动量（h）：在卫星轨道中，h 表示卫星的比动量，它是卫星速度和轨道半径的乘积。这个数值越大，意味着卫星的速度和轨道的高度越大，即卫星具有更大的动能和轨道的离心率较大。
具有以上数据即可进行轨道运算，相关公式如下
1. 计算卫星在椭圆轨道上的真近点角：
2. 计算卫星在椭圆轨道上的偏近点角：
3. 计算卫星的距离到近地点的时刻：
4. 计算卫星的平均角速度：
其中，μ为地球的标准引力参数，a 为卫星的半长轴。
5. 计算卫星在GCRS 中的位置(X, Y, Z)：
其中，a 为卫星的半长轴。
6. 计算卫星在GCRS 中的速度(Vx, Vy, Vz)：
其中，h 为卫星的轨道角动量
这里特别要注意的是，题目中长半轴a 是缺失的，需要进一步进行计算，通过比动量h 和偏心率e 可以计算半长轴a 的公式如下：
其中，μ是中心天体的标准引力参数（3.986004418 ×10^14 米^3/秒^2 ），可以查询资料得出。这个公式基于开普勒第二定律和能量守恒原理，用于描述椭圆轨道的半长轴。
针对问题二
在忽略太阳系天体的自转和扁率这个假设条件下，我们可以建立脉冲星光子到达卫星与太阳系质心之间的真空几何传播时延模型如下：
由于是平行光
在相同时间尺度下，使用一定的信号处理算法得到两航天器观测时间的时间差值，该时间差体现了两航天器在X 射线脉冲星方向矢量上的距离增量
（如图，张姣.X 射线脉冲星信号相位差估计方法及应用[D].西安电子科技大学,2015.）
可得
实际上时差模型即：
其中太阳到T 太阳 ，和到T 卫星 都可以由相位求出，求时差即求相位差对于同一颗X 射线脉冲星来说，假定其标准轮廓为s(t)， 经过长时间观测平均得到的观测轮廓可看作是其最好的近似。对于某一观测历元t 的观测轮廓p(t)与标准轮廓s(t)之间存在等式：
根据参考文献（杨廷高, 童明雷, 赵成仕, 高玉平. Crab 脉冲星X 射线计时观测数据处理与分析[J]. 天文学报, 2018, 59(2): 8-14.），我们可以知道由256个相位子间隔构成的一个积分脉冲轮廓, 其主脉冲尖峰的相位与标准脉冲轮廓尖峰的相位差就是我们要求解的相位延迟
由题目中提供的数据可以绘制出标准脉冲轮廓曲线，接下来计算求解即可
针对问题三
需要用几何传播时延、Shapiro 时延、引力红移时延和狭义相对论的动钟变慢效应进行理论修正。
修正完是这样的
具体推导见（张姣.X 射线脉冲星信号相位差估计方法及应用[D].西安电子科技大学,2015.）
该问题需要运行一下程序打开附件三来进行数据提取，相信不少同学会运行失败，原因是大家没有装jplephem 库请大家打开搜索栏，输入cmd
针对问题四
1.建立X 射线脉冲星光子序列模型，并仿真Crab 脉冲星光子序列（这个公式题干里面有）
脉冲星光子到达探测器的时间服从非齐次泊松分布。在时间段(ta,tb) 内，有k个光子到达探测器的概率为
2.根据Crab 脉冲星的自转参数（见附件1），利用仿真的脉冲星光子序列折叠出脉冲轮廓（要求脉冲轮廓对应相位区间为0,1 ）。
用来预报脉冲星的自转相位和脉冲到达太阳系质心的时间。对于毫秒脉冲星而言，周期变化率小，略去频率二阶导数以上的高阶项，脉冲星计时模型可以表示为：
3.在保持上述背景光子流量密度值不变基础上，请提出一种提高仿真精度的方法，从而更好展现脉冲星的辐射特性。时延估计方法一般可分为时域估计和频域估计两类，时域估计算法中包括最大似然法（ML）、非线性最小二乘法（NLS）、互相关法（CC）、低信噪比下最大似然法（LML）、快速最大似然法（FAML）以及提出的加权非线性最小二乘法（WNLS）[ 111, 112, 151, 152, 145]。其中，CC、LML 和FAML 又可以在离散Fourier 域实现，也可认为是一种频域方法，此外，频域方法还有Taylor FFT方法。
ML 法是以光子TOA 为基础，建立最大联合概率密度函数与最优估计参数间对应关系，光子TOA 联合概率密度函数为
通过插值计算每个光子TOA 处的光子流率函数值，计算其联合概率密度，再通过最大化联合概率密度函数实现初始相位参数的估计，即
当积分时间足够长时，似然函数可简化为
