静电势能（electrostatic potential energy）和电势（electric potential）
静电势能(electrostatic potential energy)
静电势能是把一个电荷从无穷远处移动到这个位置需要做的功。
静电势能的符号： U
图示：
计算公式：
U = q 1 q 2 4 π ϵ 0 R U =\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0R} U=4πϵ0Rq1q2
其中
- U 是静电势能，单位焦耳
- q 1 q_1 q1 是电荷 q 1 q_1 q1 所带电荷量
- q 2 q_2 q2 是电荷 q 2 q_2 q2 所带电荷量
- ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0 是真空介电常数， 1 4 π ϵ 0 = 9 ∗ 1 0 9 \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 * 10^9 4πϵ01=9∗109
- R 是两个电荷的距离
解释
1.在空间中的一个位置放上正电荷 q 1 q_1 q1 ，这一步不需要做任何功。
2.施加外力 F ⃗ \vec{F} F 将另一个正电荷 q 2 q_2 q2 从无穷远处推到位置 p，这一步需要克服两个电荷间的静电力做功，此时外部施加的力所做的功的大小为
W = ∫ ∞ R F ⃗ ⋅ d r ⃗ W=\int ^R_{\infty} \vec{F}\cdot \vec{dr} W=∫∞RF⋅dr
这也等于在电场力 F e l ⃗ \vec{F_{el}} Fel 的作用下，将正电荷 q 2 q_2 q2 从位置 p 推到无穷远时所做的功。
W = ∫ R ∞ F e l ⃗ ⋅ d r ⃗ W= \int ^{\infty}_R \vec{F_{el}}\cdot \vec{dr} W=∫R∞Fel⋅dr
由于运动方向和电场力的方向一致，夹角为 0，cos(0) = 1，所以，所作的功为(这里用到了之前文章里介绍过的静电力的公式)：
W = q 1 q 2 4 π ϵ 0 ∫ R ∞ d r r 2 W=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0} \int ^{\infty}_R \frac{dr}{r^2} W=4πϵ0q1q2∫R∞r2dr
因为
∫ R ∞ d r r 2 = − 1 r ∣ R ∞ = 1 R \int ^{\infty}_R \frac{dr}{r^2} = -\frac{1}{r} \Big \rvert _R^\infty =\frac{1}{R} ∫R∞r2dr=−r1 R∞=R1
所以静电势能 U 为
U = W = q 1 q 2 4 π ϵ 0 R U = W=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0R} U=W=4πϵ0Rq1q2
其中 W 是电荷 q 2 q_2 q2 在 q 1 q_1 q1 的静电力下，从 R 运动到正无穷时所做的功。
电势（electric potential）
电势的符号：V
电势是把一个单位电荷从无穷远处移动到这一点所要做的功。
图示：
计算公式：
V = Q 4 π ϵ 0 R V =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R} V=4πϵ0RQ
其中
- V 是电势，单位伏特
- Q 是正电荷 Q 所带电荷量
- ϵ 0 \epsilon_0 ϵ0 是真空介电常数， 1 4 π ϵ 0 = 9 ∗ 1 0 9 \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 * 10^9 4πϵ01=9∗109
- R 是两个电荷的距离
解释
首先，在空间中放置一个正电荷 Q，有一点位置 p 与正电荷
Q 的距离为 R，在位置 p 处放置一个试验电荷 +q，试验电荷 +q 的静电势能 U 我们已经知道，如下
U = Q q 4 π ϵ 0 R U =\frac{Qq}{4\pi\epsilon_0R} U=4πϵ0RQq
因为电势 V 是从无穷远处，将单位电荷移动到位置 p 所做的功，所以
V = U q = Q 4 π ϵ 0 R V = \frac{U}{q} =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R} V=qU=4πϵ0RQ
参考
【麻省理工公开课：电和磁】 https://www.bilibili.com/video/BV1rW41147od/?p=4