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二叉树合集（一）：二叉树基础（含四种遍历，图文详解）
二叉树合集（二）：霍夫曼树(图文详解)
二叉树合集（三）：线索二叉树（图文详解）
二叉树合集（四）：对称二叉树（递归和迭代实现）
二叉树合集（五）：二叉搜索树（图片详解，含基本操作）
二叉树合集（六）：高度平衡二叉树

前言

树是数据结构中的重中之重，尤其以各类二叉树为学习的难点。一直以来，对于树的掌握都是模棱两可的状态，现在希望通过写一个关于二叉树的专题系列。在学习与总结的同时更加深入的了解掌握二叉树。本系列文章将着重介绍一般二叉树、完全二叉树、满二叉树、线索二叉树、霍夫曼树、二叉排序树、平衡二叉树、红黑树、B树。希望各位读者能够关注专题，并给出相应意见，通过系列的学习做到心中有“树”。

1 重点概念

1.1 结点概念

结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

1.2 树结点声明

本系列文章中提及的结点专指树的结点。例如：结点A在图中表示为：

树

2.1 定义

**树（Tree）**是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点：
1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
示例树：
图2.1为一棵普通的树：

由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用，

2.2 结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。
图2.2中标注了图2.1所示树的各个结点的度。

2.3 结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图2.2中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
图2.2中，结点B与结点C互为兄弟结点。

2.4 结点层次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
图2.3表示了图2.1所示树的层次关系

2.5 树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。图2.1所示树的深度为4。

3 二叉树

3.1 定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
图3.1展示了一棵普通二叉树：

3.2 二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

3.3 二叉树性质

1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

3.4 斜树

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

3.5 满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

3.6 完全二叉树

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
图3.5展示一棵完全二叉树

特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

3.7 二叉树的存储结构

3.7.1 顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。

图3.6

图3.6所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式，如图3.7表示：

由图3.7可以看出，当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。
那么当二叉树不为完全二叉树时，采用顺序存储形式如何呢？例如：对于图3.8描述的二叉树：

其中浅色结点表示结点不存在。那么图3.8所示的二叉树的顺序存储结构如图3.9所示：

其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。
那么对于图3.3所示的右斜树极端情况对应的顺序存储结构如图3.10所示：

由图3.10可以看出，对于这种右斜树极端情况，采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。

3.7.2 二叉链表

既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如图3.11所示：

定义结点代码：

typedef struct BiTNode{
    TElemType data;//数据
    struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;

则图3.6所示的二叉树可以采用图3.12表示。

图3.12中采用一种链表结构存储二叉树，这种链表称为二叉链表。

3.8 二叉树遍历

二叉树的遍历一个重点考查的知识点。

递归解法

递归解法是比较常用而且容易理解的方法，只要理解了思路就能够很好的去使用他。
**比如前序遍历：**前序遍历的递归方法就是：根、左、右，先打印根节点，只有再去寻找他的左子树，左子树找到末尾的时候返回再找又指数，直到完成。

下面放代码：

前序遍历

public static void PreOrderRecur(TreeNode root){
	if(root == null) return;
	System.out.println(root.data);
	PreorderRecur(root.left);
	PreorderRecur(root.right);
}

中序遍历

public static void InOrderRecur(TreeNode root){
	if(root == null) return;
	InorderRecur(root.left);
	System.out.println(root.data);
	InorderRecur(root.right);
}

后序遍历

public static void PostOrderRecur(TreeNode root){
	if(root == null) return;
	PostorderRecur(root.left);
	PostorderRecur(root.right);
	System.out.println(root.data);
}

观察可以发现，递归的实现其实只是输出根节点的位置不一样，并没有很大的不同。

迭代解法

本质上是在模拟递归，因为在递归的过程中使用了系统栈，所以在迭代的解法中常用Stack来模拟系统栈。注意栈的先进后出顺序，输出出来的就是倒序打印。

前序遍历

⼆叉树的前序遍历顺序是根-左-右。我们可以采⽤⼀个栈来辅助，我们把先序遍历的结果放到⼀个ArrayList 容器中作为返回值，具体步骤如下：
1、把⼆叉树的根节点 root 放进栈。
2、如果栈不为空，从栈中取出⼀个节点，把该节点放⼊容器的尾部；如果该节点的右⼦树不为空，则
把有节点放⼊栈；如果该节点的左⼦树不为空，则把左⼦树放⼊栈中。
3、⼀直重复步骤 2 ，直到栈为空，此时遍历结束，代码如下：

static List<Interger> PreOrderTraversal(TreeNode root){
	List(Interger) result = new ArrayList<>();
	Stack<TreeNode> stack = new Stack();
	if(root == null) return result;
	stack.push(root);//首先把根节点放入栈中
	while(!stack.isEmpty(){
	//当栈中不为空的时候，执行以下操作
	TreeNode temp = stack.pop();//取出栈中的节点，用一个临时变量保存
	result.add(temp.val);//将变量的值加入结果队列中
	if(tmp.right!=null)
		stack.push(root.right);//如果该节点的右⼦树不为空，则把有节点放⼊栈
	if(tmp.left!=null)
		stack.push(root.left);//如果该节点的左⼦树不为空，则把左⼦树放⼊栈中。
		}
	return result;
}
	
	

中序遍历

⼆叉树的中序遍历顺序是左-根-右。我们可以采⽤⼀个栈来辅助，我们把中序遍历的结果放到⼀个
ArrayList 容器中作为返回值，具体步骤如下：
1、进⼊ while 循环，接着把根节点及其所有左⼦节点放⼊栈中。
2、从栈中取出⼀个节点，把该节点放⼊容器的尾部；如果该节点的右⼦节点不为空，则把右⼦节点及
其右⼦节点的所有左⼦节点放⼊队列。
3、⼀直重复步骤 2 ，直到栈为空并且当前节点也为空则退出循环。
可能看解释反⽽有点乱，直接看代码吧，配合代码就容易懂了

代码如下：

public List<Integer> InOrderTraversal(TreeNode root){
    List<Integer> res = new ArrayList<>();
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();

    while (root != null || !stack.isEmpty())
    {
        if(root != null){
            stack.push(root);
            root=root.left;
        }
        else{
            root = stack.pop();
            res.add(root.data);
            root=root.right;
        
        }
    }
    return res;
}

后续遍历

宽搜+逆序输出 = 后序遍历
⼆叉树的后序遍历顺序是左-右-根。我们可以采⽤⼀个栈来辅助，不过它和前序遍历以及中序遍历还是有点区别的，我们把后序遍历的结果放到⼀个 LinkedList 容器中作为返回值，具体步骤如下：
1、把⼆叉树的根节点 root 放进栈。
2、如果栈不为空，从栈中取出⼀个节点，把该节点插⼊到容器的头部。；如果该节点的左⼦树不为
空，则把该左⼦树放⼊栈中；如果该节点的右⼦树不为空，则把右⼦树放⼊栈中。，
注意，之前的前序遍历和中序遍历，我们都是⽤ ArrayList 容器，并且是把节点插⼊到容器的尾部，这
就是后序遍历的不同点。
3、⼀直重复步骤 2 ，直到栈为空，此时遍历结束
代码如下：

public List<Integer> postOderTraversal(TreeNode root) {
    LinkedList<Integer> res = new LinkedList<>();// 注意，采⽤链表
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
    if(root == null)
        return res;
    stack.push(root);
    while (!stack.isEmpty()) {
        TreeNode tmp = stack.pop();// 注意，是放在第⼀个位置
        res.addFirst(tmp.val);
        if(tmp.left != null)
            stack.push(tmp.left);
        if(tmp.right != null)
            stack.push(tmp.right);
    }
        return res;
    }

层序遍历

请参考我的另一篇博文，链接。

4 结语

通过上述的介绍，已经对于二叉树有了初步的认识。本篇文章介绍的基础知识希望读者能够牢牢掌握，并且能够在脑海中建立一棵二叉树的模型，为后续学习打好基础。