二分图：
图中所有点可以分成两个点集，使得图中所有边都是在集合之间的，即，同一个集合内的点之间没有边。

1、所有二分图算法

2、染色法

用于判断一个图是否是二分图。
重要性质：一个图是二分图，当且仅当该图中不含奇数环（环中边数量是奇数）。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx;
    idx++;
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;
    
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!color[j])
        {
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while (m--)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }
    
    int flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!color[i])
        {
            if (!dfs(i, 1))
            {
                flag = false;
            }
        }
    
    if (flag) cout << "Yes" << endl;
    else cout << "No" << endl;
    
    return 0;
}

考虑一个问题：

dfs里面把 if( !dfs(j, 3 - c) ) return false; 改成直接return dfs(j, 3 - c); 为什么不行？

注意下面两段代码的区别：
①
if ( !color[j] )
    if (!dfs(j , 3 - c))  return false;
②
if ( !color[j] )
    return  dfs(j , 3 - c);

①只可能返回 false（或根本不返回），永远不会返回 true，即，只会在dfs失败的情况下返回主函数，dfs成功不会返回主函数。
而②可能返回 true或false，即，dfs成功或失败都返回主函数。
对于dfs失败的情况，只要一个dfs失败，那这个图肯定不是二分图，不用继续遍历其他的邻点。
但对于dfs成功的情况，一个dfs染色的可能只是图中的一个连通块，一个连通块符合二分图并不代表整个图是二分图，所以不能直接返回true还要继续遍历其他的邻点，只有所有的dfs都是true，整个图才是二分图。

上面的话总结的普遍一点：
对于返回false的情况，只要局部返回false，那整体肯定是false的。但对于返回true的情况，局部返回 true并不代表整体也是true，所以不能直接根据局部的true就断定整体的true，还需要继续遍历，只有所有的局部都是true，整体才是true。

3、匈牙利算法

给定一个二分图，求它的最大匹配。
实际运行时间一般远小于O(n*m)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 1e5 + 10;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx;
    idx++;
}

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n1 >> n2 >> m;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    while (m--)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i++)
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        if (find(i)) res++;
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}