数据结构与算法 -- 子序列问题
一、子序列问题
子数组问题是连续的，而子序列问题是不连续的。比如说字符串 “I wanna keep a giraffe in my backyard” 的一种子序列就可以是 “Igbackd”。 子序列不再要求答案是一个连续的串。一个字符串的子序列，是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。举个例子，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但是 “aec” 就不是 “abcde” 的子序列。
二、最长回文子序列
1、问题描述
问题：给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000。
示例1：
输入："asssasms"
输出：5
解释：一个可能的最长回文子序列为 "sssss"，另一种可能的答案是 "asssa"。2、算法分析
1）初始化状态
单个字符一定是它自己的回文；
2）状态参数
一个是起始位置，另一个是结束位置。在算法的执行过程中，起始和结束位置是变化的，因此它们是状态参数。
3）决策
当前子问题的答案就是通过前面的子问题 ➕ 当前的决策推导出来的。当前的决策就是：计算出向子问题的两边分别扩充一个元素后得到的答案。
4）备忘录
DP[i][j]，其对应的值是字符串 i…j 中最长回文子序列的长度。
3、状态方程
4、算法实现
package main
import "fmt"
func DP(str string, length int) int {
byteSlice := []byte(str)
// 创建备忘录
dp := make([][]int, length)
for i := range dp{
dp[i] = make([]int, length)
}
// 初始化状态
for i := 0; i < length; i++ {
dp[i][i] = 1
}
// 转移方程转换实现
for i := length - 1; i >= 0; i-- {
for j := i+1; j < length; j++ {
if byteSlice[i] == byteSlice[j] {
dp[i][j] = 2 + dp[i+1][j-1];
} else {
if dp[i+1][j] > dp[i][j-1] {
dp[i][j] = dp[i+1][j]
} else {
dp[i][j] = dp[i][j-1]
}
}
}
}
return dp[0][length-1] // 输出答案
}
func main() {
str := "asssasms"
length := len(str)
fmt.Println(DP(str, length)) // 输出答案
}三、最长公共子序列
1、问题描述
问题：给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。
其中：
1 ≤ text1.length ≤ 1000；
1 ≤ text2.length ≤ 1000；
输入的字符串只含有小写英文字符。
示例1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ade"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ade"，它的长度为 3。2、算法分析
1）初始化状态
当两个字符的其中一个为空串，或同时为空串时，原问题的答案肯定是 0。显然，一个字符串与空串的公共子序列肯定是空的。
2）状态参数
用变量 i 和变量 j 描述了整个问题的求解空间，备忘录是基于二维数组构建的。因此，我们的状态参数就是变量 i 和变量 j。
3）决策
对于 text1 和 text2 这两个字符串中的每个字符 text1[i] 和 text2[j]，其实只有两种选择：
1、text1[i−1]==text2[j−1]，即当前遍历的两个字符在最长公共子序列中，此时 DP[i][j]=1+DP[i−1][j−1]；
2、text1[i−1]!=text2[j−1]，即当前遍历的两个字符至少有一个不在最长公共子序列中。仿照最长回文子序列的处理方法，由于两个字符至少有一个不在，因此我们需要丢弃一个。因此在不等的情况下，需要进一步作出决策。
由于我们要求的是最长公共子序列，因此哪个子问题的答案比较长，就留下谁：max(DP[i−1][j], DP[i][j−1])。
4）备忘录
DP[i][j] 表示的是 text1[0…i] 和 text2[0…j] 的最长公共子序列的长度。
3、状态方程
4、算法实现
package main
import "fmt"
func DP(str1 string, str2 string) int {
byteSlice1 := []byte(str1)
byteSlice2 := []byte(str2)
length1 := len(str1)
length2 := len(str2)
// 创建备忘录
dp := make([][]int, length1+1)
for i := range dp{
dp[i] = make([]int, length2+1)
}
// 初始化状态
for i := 0; i < length1+1; i++ {
for j := 0; j < length2+1; j++ {
dp[i][j] = 0
}
}
// 转移方程转换实现
for i := 1; i<= length1; i++ {
for j := 1; j <= length2; j++ {
if byteSlice1[i-1] == byteSlice2[j-1] {
dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j-1];
} else {
if dp[i-1][j] > dp[i][j-1] {
dp[i][j] = dp[i-1][j]
} else {
dp[i][j] = dp[i][j-1]
}
}
}
}
return dp[length1][length2] // 输出答案
}
func main() {
str1 := "abcde"
str2 := "ade"
fmt.Println(DP(str1, str2)) // 输出答案
}