1、二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

一些名词概念：

1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
2. 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点
3. 非终端节点或分支节点：度不为0的节点
4. 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
5. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
6. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
7. 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
8. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
9. 树的高度或深度：树中节点的最大层次
10. 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟
11. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
12. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
13. 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

2、特殊二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3、二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序结构存储 就是使用 数组 来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。适合采用顺序存储结构的数据结构有 堆、栈、队列等。
2. 二叉树的 链式存储结构 是指，用 链表 来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，二叉树一般都是二叉链，如红黑树等会用到三叉链。

4、二叉树的性质

1）若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

2）若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.

3）对任何一棵二叉树, 如果度为 0 其叶结点个数为 n0, 度为 2 的分支结点个数为 n2,则有 n0＝n2＋1

4）若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度h=Log2(n+1). (ps：Log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)

5）对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
4. 可通过 n / 2 - 1 找到二叉树中最后一个叶子节点的父节点
5. 节点数为n的完全二叉树，其层数为 floor(Log2(n)) + 1，其中floor()表示向下取整！
6. 在具有 n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为 ceil(n/2)，其中 ceil() 是向上取整。

5、相关案例

例1：一个具有 n个节点的完全二叉树，其叶子节点数为多少？
解：根据完全二叉树的性质可知，此二叉树的层数（规定根节点的层数为1）为 num = floor(Log2(n)) + 1，其中floor()是向下取整。

又因完全二叉树除去最后一层，其他部分满足 满二叉树 ，此时前 num - 1 层的节点总个数为 num_part1 = 2^(num-1) - 1. 从而最后一层（num）的叶子节点个数为 ans_part1 = n - num_part1 ，此时需要根据此个数求取倒数第二层（num - 1）的叶子节点个数。

即先通过ans_part1求出这些叶子节点对应的父节点的个数，ans_part1_parent = ceil(ans_part1 / 2)，其中 ceil() 是向上取整，然后再利用 num-1 层的节点个数减去求出的 ans_part1_parent 便可获得倒数第二层的叶子节点个数 ans_part2 = 2^(num - 1 - 1) - ans_part1_parent .

所以题目中完全二叉树的叶子节点数为
ans = ans_part1 + ans_part2 = n - (2^(num-1) - 1) + 2^(num - 1 - 1) - ceil((n - 2^(num-1) + 1) / 2) .

注意：以上解法是暴力解法，比较麻烦，所以可以直接用 4 中性质求解。即 ceil(n/2)

例如，一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为？
代入上述过程有 此二叉树的层数 num = floor(Log2(767)) + 1 = 10，
然后前 num - 1 = 9 层的节点总个数为 num_part1 = 2^(10-1) - 1 = 511.
所以最后一层（num = 10）的叶子节点个数为 ans_part1 = n - num_part1 = 767 - 511 = 256 .
此时这些叶子节点对应的父节点的个数，ans_part1_parent = ceil(ans_part1 / 2) = ceil(256/2) = 128，故而 倒数第二层的叶子节点个数 ans_part2 = 2^(num - 1 - 1) - ans_part1_parent = 2^(10 - 1 - 1) - 128 = 128.
因此，题目中完全二叉树的叶子节点数为 ans = ans_part1 + ans_part2 = 256 + 128 = 384.

若直接利用性质求解，则 ans = ceil(n / 2) = ceil(767 / 2) = 384.