自动控制原理7.2---信号的采样与保持
参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
《自动控制原理PDF版下载》
2.信号的采样与保持
2.1 采样过程
-
把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，亦称采样开关；
-
假设采样器每个 T T T秒闭合一次，闭合的持续时间为 τ \tau τ；采样器的输入 e ( t ) e(t) e(t)为连续信号，输出 e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t)为宽度等于 τ \tau τ的调幅脉冲序列，在采样瞬时 n T ( n = 0 , 1 , 2 , … , ∞ ) nT(n=0,1,2,\dots,\infty) nT(n=0,1,2,…,∞)时出现；
-
在 t = 0 t=0 t=0时，采样器闭合 τ \tau τ秒，此时 e ∗ ( t ) = e ( t ) e^*(t)=e(t) e∗(t)=e(t)， t = τ t=\tau t=τ后，采样器打开，输出 e ∗ ( t ) = 0 e^*(t)=0 e∗(t)=0，以后每隔 T T T秒重复一次此过程，采样过程要丢失采样间隔之间的信息；
-
采样过程如下图所示：
-
一般在分析时，可以认为 τ = 0 \tau=0 τ=0，采样器可以用一个理想采样器代替，采样过程看成是一个幅值调制过程；理想采样器看成一个载波为 δ T ( t ) \delta_{T}(t) δT(t)的幅值调制器；
-
理想采样过程如下图所示：
用数学形式描述图7-11调制过程，有：
e ∗ ( t ) = e ( t ) δ T ( t ) (1) e^*(t)=e(t)\delta_T(t)\tag{1} e∗(t)=e(t)δT(t)(1)
理想单位脉冲序列 δ T ( t ) \delta_T(t) δT(t)可以表示为：
δ T ( t ) = ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) (2) \delta_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT)\tag{2} δT(t)=n=0∑∞δ(t−nT)(2)
其中： δ ( t − n T ) \delta(t-nT) δ(t−nT)是出现在时刻 t = n T t=nT t=nT、强度为1的单位脉冲；因此，有：
e ∗ ( t ) = e ( t ) ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) (3) e^*(t)=e(t)\sum_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT)\tag{3} e∗(t)=e(t)n=0∑∞δ(t−nT)(3)
因为 e ( t ) e(t) e(t)数值仅在采样瞬时有意义，因此有：
e ∗ ( t ) = ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) δ ( t − n T ) (4) e^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)\delta(t-nT)\tag{4} e∗(t)=n=0∑∞e(nT)δ(t−nT)(4)
2.2 采样过程的数学描述
-
采样信号的拉氏变换
对采样信号 e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t)进行拉氏变换，有：
E ∗ ( s ) = L [ e ∗ ( t ) ] = L [ ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) δ ( t − n T ) ] (5) E^*(s)=L\left[e^*(t)\right]=L\left[\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)\delta(t-nT)\right]\tag{5} E∗(s)=L[e∗(t)]=L[n=0∑∞e(nT)δ(t−nT)](5)
采样信号的拉氏变换为：
E ∗ ( s ) = ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) e − n T s (6) E^*(s)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)e^{-nTs}\tag{6} E∗(s)=n=0∑∞e(nT)e−nTs(6)
实例分析：Example1： 设 e ( t ) = 1 ( t ) e(t)=1(t) e(t)=1(t)，求 e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t)的拉氏变换。
解：
E ∗ ( s ) = ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) e − n T s = 1 + e − T s + e − 2 T s + ⋯ + E^*(s)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)e^{-nTs}=1+e^{-Ts}+e^{-2Ts}+\dots+ E∗(s)=n=0∑∞e(nT)e−nTs=1+e−Ts+e−2Ts+⋯+
求和后得闭合形式：
E ∗ ( s ) = 1 1 − e − T s = e T s e T s − 1 ， ∣ e − T s < 1 ∣ E^*(s)=\frac{1}{1-e^{-Ts}}=\frac{e^{Ts}}{e^{Ts}-1}，\left|e^{-Ts}<1\right| E∗(s)=1−e−Ts1=eTs−1eTs，∣ ∣e−Ts<1∣ ∣ -
香农采样定理
在设计离散系统时，香农采样定理是必须严格遵守的一条准则，香农定理指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号所必需的理论上的最小采样周期 T T T；
香农采样定理指出：如果采样器的输入信号 e ( t ) e(t) e(t)具有有限带宽，并且直到 ω h \omega_h ωh的频率分量，则使信号 e ( t ) e(t) e(t)圆满地从采样信号 e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t)中恢复过来的采样周期 T T T，满足下列条件：
T ≤ 2 π 2 ω h ，即 ω s ≥ 2 ω h (7) T≤\frac{2\pi}{2\omega_h}，即\omega_s≥2\omega_h\tag{7} T≤2ωh2π，即ωs≥2ωh(7)
其中： ω h \omega_h ωh为连续频谱的最大角频率； ω s \omega_s ωs为采样角频率； -
采样周期的选取
控制过程 采样周期 T / s T/s T/s 控制过程 采样周期 T / S T/S T/S 流量 1 温度 20 压力 5 成分 20 液面 5 从频域性能指标看，控制系统的闭环频率响应通常具有低通滤波特性，当随动系统的输入信号的频率高于其闭环幅频特性的谐振频率 ω r \omega_r ωr时，信号通过系统将会很快衰减，因此可认为通过系统的控制信号的最高频率分量为 ω r \omega_r ωr；
随动系统的采样角频率可近似取为：
ω s = 10 ω c 或 T = 1 40 t s (8) \omega_s=10\omega_c或T=\frac{1}{40}t_s\tag{8} ωs=10ωc或T=401ts(8)
2.3 信号保持
-
保持器的数学描述
-
保持器是具有外推功能的元件，保持器的外推作用表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推；
-
采用如下多项式外推公式描述保持器：
e ( n T + Δ t ) = a 0 + a 1 Δ t + a 2 ( Δ t ) 2 + ⋯ + a m ( Δ t ) m (9) e(nT+\Delta{t})=a_0+a_1\Delta{t}+a_2(\Delta{t})^2+\dots+a_m(\Delta{t})^m\tag{9} e(nT+Δt)=a0+a1Δt+a2(Δt)2+⋯+am(Δt)m(9)
其中： Δ t \Delta{t} Δt是以 n T nT nT时刻为原点的坐标； -
式(9)表示：现在时刻的输出 e ( n T + Δ t ) e(nT+\Delta{t}) e(nT+Δt)值，取决于 Δ t = 0 , − T , − 2 T , … , − m T \Delta{t}=0,-T,-2T,\dots,-mT Δt=0,−T,−2T,…,−mT各过去时刻的离散信号 e ∗ ( n T ) ， e ∗ [ ( n − 1 ) T ] ， e ∗ [ ( n − 2 ) T ] ， … ， e ∗ [ ( n − m ) T ] e^*(nT)，e^*[(n-1)T]，e^*[(n-2)T]，\dots，e^*[(n-m)T] e∗(nT)，e∗[(n−1)T]，e∗[(n−2)T]，…，e∗[(n−m)T]的 ( m + 1 ) (m+1) (m+1)个值；
-
外推公式中 ( m + 1 ) (m+1) (m+1)个待定系数 a i ( i = 0 , 1 , 2 , … , m ) a_i(i=0,1,2,\dots,m) ai(i=0,1,2,…,m)，唯一由过去各采样时刻 ( m + 1 ) (m+1) (m+1)个离散信号值 e ∗ [ ( n − i ) T ] ( i = 0 , 1 , 2 , … , m ) e^*[(n-i)T](i=0,1,2,\dots,m) e∗[(n−i)T](i=0,1,2,…,m)来确定，因此系数 a i a_i ai有唯一解；这样保持器称为 m m m阶保持器；若 m = 0 m=0 m=0,称为零阶保持器； m = 1 m=1 m=1，称为一阶保持器；
-
-
零阶保持器
零阶保持器的数学表达式为：
e ( n T + Δ t ) = e ( n T ) ， 0 ≤ Δ t < T (10) e(nT+\Delta{t})=e(nT)，0≤\Delta{t}<T\tag{10} e(nT+Δt)=e(nT)，0≤Δt<T(10)
零阶保持器是一种按常值外推的保持器，把前一采样时刻 n T nT nT的采样值 e ( n T ) e(nT) e(nT)一直保持到下一时刻 ( n + 1 ) T (n+1)T (n+1)T到来之前，从而使采样信号 e ∗ ( t ) e^*(t) e∗(t)变成阶梯信号 e h ( t ) e_h(t) eh(t)；零阶保持器输出特性如下图所示：
把阶梯信号 e h ( t ) e_h(t) eh(t)的中点连接，可以得到与连续信号 e ( t ) e(t) e(t)形状一致但在时间上落后 T / 2 T/2 T/2的响应 e [ t − ( T / 2 ) ] e[t-(T/2)] e[t−(T/2)]；零阶保持器的传递函数：
G h ( s ) = 1 s − e − T s s = 1 − e − T s s (11) G_h(s)=\frac{1}{s}-\frac{e^{-Ts}}{s}=\frac{1-e^{-Ts}}{s}\tag{11} Gh(s)=s1−se−Ts=s1−e−Ts(11)
零阶保持器特性：- 低通特性。由于幅频特性的幅值随频率值增大而迅速衰减，即零阶保持器基本上是一个低通滤波器；在 ω = ω s / 2 \omega=\omega_s/2 ω=ωs/2时，幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，因此，零阶保持器除允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频频谱分量通过，从而造成数字控制系统的输出中存在纹波；
- 相角滞后特性。零阶保持器要产生相角滞后，且随 ω \omega ω增大而加大，在 ω = ω s \omega=\omega_s ω=ωs处，相角滞后可达 − 180 ° -180° −180°，从而使闭环系统的稳定性变差；
- 时间滞后特性。零阶保持器的输出为阶梯信号 e h ( t ) e_h(t) eh(t)，其平均响应为： e [ t − ( T / 2 ) ] e[t-(T/2)] e[t−(T/2)]，表明其输出比输入在时间上滞后 T / 2 T/2 T/2，相当于给系统增加了一个延迟时间为 T / 2 T/2 T/2的延迟环节，使系统总的相角滞后增大，对系统的稳定性不利；零阶保持器的阶梯输出同时增加了系统输出中的纹波；
- 一阶保持器复现原信号准确度高，但幅频特性普遍较大，允许通过的信号高频分量较多，更容易造成纹波；一阶保持器的相角滞后比零阶保持器大，在 ω = ω s \omega=\omega_s ω=ωs时，可达-280°，对系统稳定性更加不利；