与归并排序相关的一些问题

作者：Grey

原文地址：

博客园：与归并排序相关的一些问题

CSDN：与归并排序相关的一些问题

归并排序的递归解法

插入，选择，冒泡排序时间复杂度是O(N^2)，归并排序可以做到时间复杂度O(N*logN)。

归并排序的整体思路是利用递归，先让左边排好序，再让右边排好序，然后通过merge操作让整体有序。

merge操作类似合并两个及以上有序链表问题中提到的算法。

但是merge过程需要辅助数组，所以额外空间复杂度为O(N)。

完整代码和注释见：

public class Code_MergeSort {

    // 递归方法实现
    public static void mergeSort1(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        process(arr, 0, arr.length - 1);
    }
    // 递归过程，让l...r变有序
    public static void process(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return;
        }
        // 求中点
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        // 左边部分有序
        process(arr, l, mid);
        // 右边部分有序
        process(arr, mid + 1, r);
        // 整体变有序
        merge(arr, l, mid, r);
    }
    // arr[l...mid]已经有序
    // arr[mid+1...r]也已经有序
    // 将arr[l...r]整体变有序
    public static void merge(int[] arr, int l, int mid, int r) {
        // 辅助数组
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int ls = l;
        int rs = mid + 1;
        int i = 0;
        while (ls <= mid && rs <= r) {
            // 谁小拷贝谁到辅助数组中。
            if (arr[ls] < arr[rs]) {
                help[i++] = arr[ls++];
            } else {
                help[i++] = arr[rs++];
            }
        }
        // 左边和右边剩余部分直接拷贝到辅助数组中
        while (ls <= mid) {
            help[i++] = arr[ls++];
        }
        while (rs <= r) {
            help[i++] = arr[rs++];
        }
        i = 0;
        for (int n : help) {
            arr[l + (i++)] = n;
        }
    }
}

这个递归过程时间复杂度可以利用 master 公式来计算。

T(N) = 2*T(N/2) + O(N^1)

故上述算法时间复杂度为O(N*logN)

归并排序的迭代版本实现

因为任何递归函数都可以用非递归函数来实现，所以，归并排序有对应的迭代方法，思路如下

1. 设置一个步长，从 1 开始，1，2，4，8，16…2^n 方式递增

2. 每次处理对应步长的数组区间范围内的排序。

3. 步长超过或者等于数组长度，则整个数组排序完成。

比如[1,3,4,2,5,6,4,6,8]

先设置步长为 1，数组分成如下区间

[0...1],[2...3],[4...5],[6...7],[8...8]

注：最后一组不够分，则单独作为一组处理。

将如上区间内部排好序，得到的数组为

[1,3,2,4,5,6,4,6,8]

然后设置步长为 2，数组分成如下区间

[0...3],[4...7],[8...8]。

然后将上述区间内部先排好序，得到数组为

[1,2,3,4,4,5,6,6,8]

然后设置步长为 4，数组分成如下区间

[0...7],[8...8]。

然后将上述区间内部先排好序，得到数组为

[1,2,3,4,4,5,6,6,8]

最后设置步长为 8，数组只有一个区间，直接排序，得到最后结果

[1,2,3,4,4,5,6,6,8]

完整代码见

public class Code_MergeSort {

    // 归并排序的迭代版
    public static void mergeSort2(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        int len = arr.length;
        // 步长，1，2，4，8....
        int step = 1;
        while (step < len) {
            // 左组的第一个位置
            int lStart = 0;
            while (lStart < len) {
                if (lStart + step >= len) {
                    // 没有右组
                    break;
                }
                int mid = lStart + step - 1;
                // rEnd不能越界
                int rEnd = mid + Math.min(step, len - mid - 1);
                // 右组中第一个位置
                // 中点位置
                merge(arr, lStart, mid, rEnd);
                lStart = rEnd + 1;
            }
            // 防止溢出
            if (step > (len / 2)) {
                break;
            }
            step <<= 1;
        }
    }
    // arr[l...mid]已经有序
    // arr[mid+1...r]也已经有序
    // 将arr[l...r]整体变有序
    public static void merge(int[] arr, int l, int mid, int r) {
        // 辅助数组
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int ls = l;
        int rs = mid + 1;
        int i = 0;
        while (ls <= mid && rs <= r) {
            // 谁小拷贝谁到辅助数组中。
            if (arr[ls] < arr[rs]) {
                help[i++] = arr[ls++];
            } else {
                help[i++] = arr[rs++];
            }
        }
        // 左边和右边剩余部分直接拷贝到辅助数组中
        while (ls <= mid) {
            help[i++] = arr[ls++];
        }
        while (rs <= r) {
            help[i++] = arr[rs++];
        }
        i = 0;
        for (int n : help) {
            arr[l + (i++)] = n;
        }
    }
}

合并有序数组

题目描述见LeetCode 88. Merge Sorted Array

本题思路就是归并排序的merge过程，不赘述，代码如下

class Solution {
    public void merge(int[] nums1, int m, int[] nums2, int n) {
        int len = m + n;
        while (m > 0 && n > 0) {
            if (nums1[m - 1] > nums2[n - 1]) {
                nums1[--len] = nums1[--m];
            } else {
                nums1[--len] = nums2[--n];
            }
        }
        while (n > 0) {
            nums1[--len] = nums2[--n];
        }
    }
}

注：本题在 LintCode 中也有，见LintCode 6 · Merge Two Sorted Arrays

在 LintCode 中，对本题有个扩展要求：

如果一个数组很大，另一个数组很小，你将如何优化算法？

对于扩展要求，我们可以用如下方式来优化

即直接查小数组中的元素在大数组中的位置（可以用二分），然后依次填入具体位置

完整代码见

public class Solution {

    public static int[] mergeSortedArray(int[] A, int[] B) {
        int m = A.length;
        int n = B.length;
        int[] bigger = m >= n ? A : B;
        int[] smaller = bigger == A ? B : A;
        int[] helper = new int[m + n];
        int from = 0;
        int to;
        int index = 0;
        for (int i = 0; i < smaller.length; i++) {
            int position = position(smaller[i], bigger, i);
            helper[position] = smaller[i];
            to = position - 1;
            while (from <= to) {
                helper[from++] = bigger[index++];
            }
            from = position + 1;
        }
        while (from < (m + n)) {
            helper[from++] = bigger[index++];
        }
        return helper;
    }

    // value在bigger的位置是多少
    public static int position(int value, int[] bigger, int offset) {
        int smallerThanMe = 0;
        int L = 0;
        int R = bigger.length - 1;
        while (L <= R) {
            int mid = L + ((R - L) >> 1);
            if (bigger[mid] > value) {
                R = mid - 1;
            } else if (bigger[mid] < value) {
                smallerThanMe = (mid + 1);
                L = mid + 1;
            } else {
                smallerThanMe = mid;
                R = mid - 1;
            }
        }
        return smallerThanMe + offset;
    }
}

计算右侧小于当前元素的个数问题

题目描述见：LeetCode 315. Count of Smaller Numbers After Self

本题也是利用了归并排序的merge过程，由于归并排序是从小到大排序，而我们需要得到某个元素右侧有多少比它小，所以我们还需要将归并排序改成从大到小排序。

以某一次merge过程为例，比如

左侧区间（已排好序）: [5,3,2,1]

右侧区间（已排好序）：[6,4,3,3]

示例图如下

当左侧指针来到s1的时候，右侧指针移动到s2的时候，开始比左侧的值要小，此时可以结算s1位置右侧有几个比它小的元素。

左侧组中比 s1 更小的元素个数 + (r - s2 + 1)

完整代码见：

class Solution {
   public static class Node {
        public int value;
        public int index;

        public Node(int index, int value) {
            this.value = value;
            this.index = index;
        }
    }

    // 思路转换为：一个数的右边有多少个数比它小！
    // 改归并排序（从大到小）
    public static List<Integer> countSmaller(int[] nums) {
        List<Integer> result = new ArrayList<>(nums.length);
        Node[] nodes = new Node[nums.length];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            result.add(0);
            nodes[i] = new Node(i, nums[i]);
        }
        process(nodes, 0, nums.length - 1, result);
        return result;
    }

    private static void process(Node[] nodes, int l, int r, List<Integer> result) {
        if (l == r) {
            return;
        }
        int m = l + ((r - l) >> 1);
        process(nodes, l, m, result);
        process(nodes, m + 1, r, result);
        merge(nodes, l, m, r, result);
    }

    private static void merge(Node[] nodes, int l, int m, int r, List<Integer> result) {
        Node[] help = new Node[r - l + 1];
        int s1 = l;
        int s2 = m + 1;
        int index = 0;
        while (s1 <= m && s2 <= r) {
            if (nodes[s1].value > nodes[s2].value) {
                result.set(nodes[s1].index, result.get(nodes[s1].index) + r - s2 + 1);
                help[index++] = nodes[s1++];
            } else if (nodes[s1].value < nodes[s2].value) {
                help[index++] = nodes[s2++];
            } else {
                help[index++] = nodes[s2++];
            }
        }
        while (s1 <= m) {
            help[index++] = nodes[s1++];
        }
        while (s2 <= r) {
            help[index++] = nodes[s2++];
        }
        for (int i = 0; i < help.length; i++) {
            nodes[l + i] = help[i];
        }
    }
}

LintCode上有一个类似的题目，题目描述见：LintCode 532 · Reverse Pairs

本题的思路和上一题一致，都是先将归并排序改成从大到小排序，然后在merge过程中，求一个数右侧有几个数比它小，不赘述，代码见：

public class Solution {
   public static long reversePairs(int[] A) {
        if (null == A || A.length < 2) {
            return 0;
        }
        return process(A, 0, A.length - 1);
    }

    private static long process(int[] a, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return 0L;
        }
        int m = l + ((r - l) >> 1);
        return process(a, l, m) + process(a, m + 1, r) + merge(a, l, m, r);
    }

    private static long merge(int[] a, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int index = 0;
        int s1 = l;
        int s2 = m + 1;
        long ans = 0L;
        while (s1 <= m && s2 <= r) {
            if (a[s1] < a[s2]) {
                help[index++] = a[s2++];
            } else if (a[s1] > a[s2]) {
                ans += (r - s2 + 1);
                help[index++] = a[s1++];
            } else {
                help[index++] = a[s2++];
            }
        }
        while (s1 <= m) {
            help[index++] = a[s1++];
        }
        while (s2 <= r) {
            help[index++] = a[s2++];
        }
        index = 0;
        for (int n : help) {
            a[l + (index++)] = n;
        }
        return ans;
    }
}

翻转对问题

题目描述见：LeetCode 493. Reverse Pairs

本题也是利用merge过程，不同于上述两个问题，本题在merge两个区间之前，就要先统计一下num[i] > 2 * num[j]的数量。

完整代码见：

class Solution {
   public static int reversePairs(int[] A) {
        if (null == A || A.length < 2) {
            return 0;
        }
        int size = A.length;
        return process(A, 0, size - 1);
    }

    public static int process(int[] a, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return 0;
        }
        int m = l + ((r - l) >> 1);
        return process(a, l, m) + process(a, m + 1, r) + merge(a, l, m, r);
    }

    public static int merge(int[] a, int l, int m, int r) {
        // 先执行统计
        int ans = 0;
        int s1 = l;
        int s2 = m + 1;
        while (s1 <= m && s2 <= r) {
            if ((long) a[s1] - (long) a[s2] > (long) a[s2]) {
                ans += (r - s2 + 1);
                s1++;
            } else {
                s2++;
            }
        }
        // 以下是经典mergesort排序
        int[] help = new int[r - l + 1];
        s1 = l;
        s2 = m + 1;
        int index = 0;

        while (s1 <= m && s2 <= r) {
            if (a[s1] < a[s2]) {
                help[index++] = a[s2++];
            } else if (a[s1] > a[s2]) {
                help[index++] = a[s1++];
            } else {
                help[index++] = a[s2++];
            }
        }
        while (s1 <= m) {
            help[index++] = a[s1++];
        }
        while (s2 <= r) {
            help[index++] = a[s2++];
        }
        index = 0;
        for (int n : help) {
            a[l + (index++)] = n;
        }
        return ans;
    }
}

区间和的个数问题

题目描述见：LeetCode 327. Count of Range Sum

本题有几个优化点：

1. 由于需要快速得到区间和，所以，可以通过前缀和数组来加速区间和的求法。

2. 在merge过程中，由于存在单调性，所以可以通过滑动窗口的方式，定位到区间和的上下界，整个过程不回退，所以不会增加归并排序的整体时间复杂度。

完整代码和注释见

class Solution {
    public static int countRangeSum(int[] nums, int lower, int upper) {
        int size = nums.length;
        // 前缀和数组加速求区间的和！！
        long[] preSum = new long[size];
        preSum[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < size; i++) {
            preSum[i] = nums[i] + preSum[i - 1];
        }
        return p(preSum, 0, size - 1, lower, upper);
    }

    public static int p(long[] preSum, int i, int j, int lower, int upper) {
        if (i == j) {
            if (preSum[i] >= lower && preSum[j] <= upper) {
                return 1;
            }
            return 0;
        }
        int mid = i + ((j - i) >> 1);
        return p(preSum, i, mid, lower, upper) + p(preSum, mid + 1, j, lower, upper) + merge(preSum, i, mid, j, lower, upper);
    }

    private static int merge(long[] preSum, int i, int mid, int j, int lower, int upper) {
        // 单调性->滑动窗口
        int pair = 0;
        int L = i;
        int R = i;
        int S = mid + 1;
        // 区间和存在单调性，使用滑动窗口定位上下界，不回退，所以O(logN)
        while (S <= j) {
            long max = preSum[S] - lower;
            long min = preSum[S] - upper;
            while (L <= mid && preSum[L] < min) {
                L++;
            }
            while (R <= mid && preSum[R] <= max) {
                R++;
            }
            pair += (R - L);
            S++;
        }

        // mergeSort经典代码
        long[] helper = new long[j - i + 1];
        int l = i;
        int r = mid + 1;
        int index = 0;
        while (l <= mid && r <= j) {
            if (preSum[l] > preSum[r]) {
                helper[index++] = preSum[r++];
            } else {
                helper[index++] = preSum[l++];
            }
        }
        while (l <= mid) {
            helper[index++] = preSum[l++];
        }
        while (r <= j) {
            helper[index++] = preSum[r++];
        }
        int k = 0;
        for (long num : helper) {
            preSum[i + (k++)] = num;
        }
        return pair;
    }
}

更多

算法和数据结构笔记

参考资料

算法和数据结构体系班-左程云