【高等数学基础进阶】多元函数的极值与最值
文章目录
- 无约束极值
- 条件极值与拉格朗日乘数法
- 最大最小值
- 常考题型方法与技巧
- 求极值(无条件)
- 求最大最小值
无约束极值
定义:若在点
(
x
0
,
y
0
)
(x_{0},y_{0})
(x0,y0)的某邻域内恒成立不等式
f
(
x
,
y
)
≤
f
(
x
0
,
y
0
)
(
f
(
x
,
y
)
≥
f
(
x
0
,
y
0
)
)
f(x,y)\leq f(x_{0},y_{0})\quad (f(x,y)\geq f(x_{0},y_{0}))
f(x,y)≤f(x0,y0)(f(x,y)≥f(x0,y0))
则称
f
f
f在点
(
x
0
,
y
0
)
(x_{0},y_{0})
(x0,y0)取得极大值(极小值),点
(
x
0
,
y
0
)
(x_{0},y_{0})
(x0,y0)称为
f
f
f的极大值点(极小值点),极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点
定理(极值的必要条件):设
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
(
x
0
,
y
0
)
(x_{0},y_{0})
(x0,y0)存在偏导数,且
(
x
0
,
y
0
)
(x_{0},y_{0})
(x0,y0)为
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)的极值点,则
f
x
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
f
y
(
x
0
,
y
0
)
=
0
f_{x}(x_{0},y_{0})=0,f_{y}(x_{0},y_{0})=0
fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0
也可表述为
f ( x , y 0 ) f(x,y_{0}) f(x,y0)在 x = x 0 x=x_{0} x=x0处的导数等于 0 0 0, f ( x 0 , y ) f(x_{0},y) f(x0,y)在 y = y 0 y=y_{0} y=y0处的导数等于 0 0 0
极值点只可能在驻点和 f x , f y f_{x},f_{y} fx,fy至少有一个不存在的点
定理(极值的充分条件):设 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_{0},y_{0}) P(x0,y0)的某邻域内有二阶连续偏导数,又 f x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_{0},y_{0})=f_{y}(x_{0},y_{0})=0 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,记 A = f x x ( x 0 , y 0 ) , B = f x y ( x 0 , y 0 ) , C = f y y ( x 0 , y 0 ) A=f_{xx}(x_{0},y_{0}),B=f_{xy}(x_{0},y_{0}),C=f_{yy}(x_{0},y_{0}) A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),则
- 当 A C − B 2 > 0 AC-B^{2}>0 AC−B2>0时,有极值,若 A > 0 A>0 A>0为极小值,若 A < 0 A<0 A<0为极大值
- 当 A C − B 2 < 0 AC-B^{2}<0 AC−B2<0时,无极值
- 当 A C − B 2 = 0 AC-B^{2}=0 AC−B2=0时,不一定(一般用定义判定)
条件极值与拉格朗日乘数法
函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)在条件
ϕ
(
x
,
y
)
=
0
\phi (x,y)=0
ϕ(x,y)=0条件下的极值
令
F
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
ϕ
(
x
,
y
)
F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)
F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)
{
F
x
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
ϕ
x
(
x
,
y
)
=
0
F
y
=
f
y
(
x
,
y
)
+
λ
ϕ
y
(
x
,
y
)
=
0
F
λ
=
ϕ
(
x
,
y
)
=
0
\left\{\begin{aligned}&F_{x}=f(x,y)+\lambda \phi_{x}(x,y)=0\\ &F_{y}=f_{y}(x,y)+\lambda \phi_{y}(x,y)=0\\ &F_{\lambda}=\phi(x,y)=0\end{aligned}\right.
⎩
⎨
⎧Fx=f(x,y)+λϕx(x,y)=0Fy=fy(x,y)+λϕy(x,y)=0Fλ=ϕ(x,y)=0
函数
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z)在条件
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
=
0
,
ψ
(
x
,
y
,
z
)
=
0
\phi(x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0
ϕ(x,y,z)=0,ψ(x,y,z)=0条件下的条件极值
令
F
(
x
,
y
,
z
,
λ
,
μ
)
=
f
(
x
,
y
,
z
)
+
λ
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
+
μ
ψ
(
x
,
y
,
z
)
F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda \phi(x,y,z)+\mu \psi (x,y,z)
F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z)+μψ(x,y,z)
设给定目标函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),约束条件为 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0
![[附件/ae51f3deb48f8c542b093a4c30292df5e1fe7fff.webp]]
如图所示,曲线 L L L为约束条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0, f ( x , y ) = C f(x,y)=C f(x,y)=C为目标函数的等值线族
在 f ( x , y ) , ϕ ( x , y ) f(x,y),\phi(x,y) f(x,y),ϕ(x,y)偏导数都连续的条件下,目标函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在约束条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0下的可能极值点 M ( x 0 , y 0 ) M(x_0,y_0) M(x0,y0),从几何上看,必是目标函数等值线曲线族中与约束条件相切的那个切点
因为两曲线在切点处必有公切线,所以目标函数等值线在点 M ( x 0 , y 0 ) M(x_0,y_0) M(x0,y0)处法向量 { f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) } \{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\} {fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)}与约束条件曲线在点 M ( x 0 , y 0 ) M(x_0,y_0) M(x0,y0)处法向量 { ϕ x ′ ( x 0 , y 0 ) , ϕ y ′ ( x 0 , y 0 ) } \{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\} {ϕx′(x0,y0),ϕy′(x0,y0)}平行,即
f x ′ ( x 0 , y 0 ) ϕ x ′ ( x 0 , y 0 ) = f y ′ ( x 0 , y 0 ) ϕ y ′ ( x 0 , y 0 ) \begin{aligned}\frac{f'_x(x_0,y_0)}{\phi'_x(x_0,y_0)}=\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\phi'_y(x_0,y_0)}\end{aligned} ϕx′(x0,y0)fx′(x0,y0)=ϕy′(x0,y0)fy′(x0,y0)
也就是说存在实数 λ \lambda λ,使下式成立
{ f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) } + λ { ϕ x ′ ( x 0 , y 0 ) , ϕ y ′ ( x 0 , y 0 ) } = 0 \{f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)\}+\lambda\{\phi'_x(x_0,y_0),\phi'_y(x_0,y_0)\}=0 {fx′(x0,y0),fy′(x0,y0)}+λ{ϕx′(x0,y0),ϕy′(x0,y0)}=0
需要注意的是,目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在约束条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0下的极值点(如图中的 M 2 M_2 M2点)链接:拉格朗日乘数法_百度百科 (baidu.com)
最大最小值
求连续函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在有界闭域 D D D上的最大最小值
- 求 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 D D D内部可能的极值点(无约束极值)
- 求 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 D D D的边界的最大最小值(条件极值)
- 比较
应用题
- 建立函数关系
- 求 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 D D D内部可能的极值点(无约束极值)
- 求 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 D D D的边界的最大最小值(条件极值)
- 比较
常考题型方法与技巧
求极值(无条件)
例1:设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的全微分为 d z = x d x + y d y dz=xdx+ydy dz=xdx+ydy,证明点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极小值点
可以用极值的充分条件,这里不展示过程。这里展示偏积分的方法得到原函数
函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)的全微分为
d
z
=
x
d
x
+
y
d
y
dz=xdx+ydy
dz=xdx+ydy,可知
z
x
=
x
,
z
y
=
y
z_{x}=x,z_{y}=y
zx=x,zy=y
由
z
x
=
x
z_{x}=x
zx=x,偏积分得
z
=
∫
x
d
x
=
1
2
x
2
+
ϕ
(
y
)
z=\int_{}^{}xdx=\frac{1}{2}x^{2}+\phi(y)
z=∫xdx=21x2+ϕ(y)
再代入
z
y
=
y
z_{y}=y
zy=y,确定
ϕ
(
y
)
\phi(y)
ϕ(y)
z
y
=
ϕ
′
(
y
)
⇒
ϕ
′
(
y
)
=
y
∫
ϕ
′
(
y
)
d
y
=
∫
y
d
y
ϕ
(
y
)
=
1
2
y
2
+
C
z
=
1
2
x
2
+
1
2
y
2
+
C
\begin{aligned} z_{y}&=\phi'(y)\\ \Rightarrow \phi'(y)&=y\\ \int_{}^{}\phi'(y)dy&=\int_{}^{}ydy\\ \phi(y)&=\frac{1}{2}y^{2}+C\\ z&=\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C \end{aligned}
zy⇒ϕ′(y)∫ϕ′(y)dyϕ(y)z=ϕ′(y)=y=∫ydy=21y2+C=21x2+21y2+C
根据定义后面不再展示过程
还可以通过凑微分得到原函数
d
z
=
x
d
x
+
y
d
y
d
z
=
d
(
1
2
x
2
)
+
d
(
1
2
y
2
)
d
z
=
d
(
1
2
x
2
+
1
2
y
2
)
z
=
1
2
x
2
+
1
2
y
2
+
C
\begin{aligned} dz&=xdx+ydy\\ dz&=d (\frac{1}{2}x^{2})+d (\frac{1}{2}y^{2})\\ dz&=d(\frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2})\\ z&= \frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{2}y^{2}+C \end{aligned}
dzdzdzz=xdx+ydy=d(21x2)+d(21y2)=d(21x2+21y2)=21x2+21y2+C
根据定义后面不再展示过程
求最大最小值
例2:求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 u=x^{2}+y^{2}+z^{2} u=x2+y2+z2在约束条件下 z = x 2 + y 2 z=x^{2}+y^{2} z=x2+y2和 x + y + z = 4 x+y+z=4 x+y+z=4下的最大值和最小值
设
F
(
x
,
y
,
z
,
λ
,
μ
)
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+
λ
(
x
2
+
y
2
−
z
)
+
μ
(
x
+
y
+
z
−
4
)
F(x,y,z,\lambda,\mu)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x^{2}+y^{2}-z)+\mu(x+y+z-4)
F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2−z)+μ(x+y+z−4)
有
{
F
x
=
2
x
+
2
λ
x
+
μ
=
0
F
y
=
2
y
+
2
λ
y
+
μ
=
0
F
z
=
2
z
−
λ
+
μ
=
0
F
λ
=
x
2
+
y
2
−
z
=
0
F
μ
=
x
+
y
+
z
−
4
=
0
\left\{\begin{aligned} &F_{x}=2x+2\lambda x+\mu=0\\ &F_{y}=2y+2\lambda y+\mu=0\\ &F_{z}=2z-\lambda+\mu=0\\ &F_\lambda=x^{2}+y^{2}-z=0\\ &F_{\mu}=x+y+z-4=0\end{aligned}\right.
⎩
⎨
⎧Fx=2x+2λx+μ=0Fy=2y+2λy+μ=0Fz=2z−λ+μ=0Fλ=x2+y2−z=0Fμ=x+y+z−4=0
解得
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
=
(
1
,
1
,
2
)
,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
=
(
−
2
,
−
2
,
8
)
(x_{1},y_{1},z_{1})=(1,1,2),(x_{2},y_{2},z_{2})=(-2,-2,8)
(x1,y1,z1)=(1,1,2),(x2,y2,z2)=(−2,−2,8)
故所求的最大值为
72
72
72,最小值为
6
6
6
例3:已知 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的全微分 d z = 2 x d x − 2 y d y dz=2xdx-2ydy dz=2xdx−2ydy且 f ( 1 , 1 ) = 2 f(1,1)=2 f(1,1)=2。求 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 4 ≤ 1 } \begin{aligned} D=\left\{(x,y)\Big|_{}^{}x^{2}+ \frac{y^{2}}{4} \leq 1\right\}\end{aligned} D={(x,y)∣ ∣x2+4y2≤1}上的最大最小值
先找
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y),这里用凑微分(偏积分也行)
d
z
=
2
x
d
x
−
2
y
d
y
d
z
=
d
x
2
−
d
y
2
d
z
=
d
(
x
2
−
y
2
)
z
=
x
2
−
y
2
+
C
代入
f
(
1
,
1
)
=
2
2
=
1
−
1
+
C
⇒
C
=
2
z
=
x
2
−
y
2
+
2
\begin{aligned} dz&=2xdx-2ydy\\ dz&=dx^{2}-dy^{2}\\ dz&=d(x^{2}-y^{2})\\ z&=x^{2}-y^{2}+C\\ &代入f(1,1)=2\\ 2&=1-1+C \Rightarrow C=2\\ z&=x^{2}-y^{2}+2 \end{aligned}
dzdzdzz2z=2xdx−2ydy=dx2−dy2=d(x2−y2)=x2−y2+C代入f(1,1)=2=1−1+C⇒C=2=x2−y2+2
令
∂
f
∂
x
=
2
x
=
0
,
∂
f
∂
y
=
−
2
y
=
0
\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}=2x=0,\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0\end{aligned}
∂x∂f=2x=0,∂y∂f=−2y=0,得驻点为
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0)
接下来可以用拉格朗日乘数法,运算不难,这里不展示步骤。考虑另一个思路,由于已经知道了约束条件,该约束条件可以代入 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y),化条件为无条件
由于点在
x
2
+
y
2
4
=
1
x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1
x2+4y2=1上,有
z
=
x
2
−
(
4
−
4
x
2
)
+
2
x
∈
[
−
1
,
1
]
z
=
5
x
2
−
2
z
max
=
z
∣
x
=
±
1
=
3
z
min
=
z
∣
x
=
0
=
−
2
\begin{aligned} z&=x^{2}-(4-4x^{2})+2\quad x \in [-1,1]\\ z&=5x^{2}-2\\ z_{\max}&=z \Big|_{x=\pm 1}^{}=3\\ z_{\min}&=z \Big|_{x=0}^{}=-2 \end{aligned}
zzzmaxzmin=x2−(4−4x2)+2x∈[−1,1]=5x2−2=z∣
∣x=±1=3=z∣
∣x=0=−2
因此最大值为
3
3
3,最小值为
−
2
-2
−2
对于圆和椭圆可以用参数方程化条件为无条件
椭圆
x
2
+
y
2
4
=
1
\begin{aligned} x^{2}+ \frac{y^{2}}{4}=1\end{aligned}
x2+4y2=1的参数方程为
{
x
=
cos
t
y
=
2
sin
t
\left\{\begin{aligned}&x= \cos t\\&y=2 \sin t\end{aligned}\right.
{x=costy=2sint
则
z
=
f
(
x
,
y
)
=
x
2
−
y
2
+
2
=
cos
2
t
−
4
sin
2
t
+
2
=
3
−
5
sin
2
t
t
∈
[
0
,
2
π
]
\begin{aligned} z=f(x,y)&=x^{2}-y^{2}+2\\ &=\cos ^{2}t-4\sin ^{2}t+2\\ &=3-5\sin ^{2}t \quad t \in [0,2\pi] \end{aligned}
z=f(x,y)=x2−y2+2=cos2t−4sin2t+2=3−5sin2tt∈[0,2π]