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Chapter9：Simulink建模与仿真

news 来源：原创 2024/9/29 15:21:34

基于胡寿松主编的《自动控制原理》(第七版)附录的MATLAB控制系统简单教程，可直接阅读教材附录，内容完全一样，没有大改动。

9.Simulink建模与仿真

9.1 综合运用1：延迟系统的仿真

ExampleB-12： 设系统如下图所示，绘制该系统的单位阶跃响应曲线。

解：

1.MATLAB交互命令行中输入：simulink打开仿真环境；
2.单击"Blank Model"新建模型；
3.打开"Library Browser"可见常见的仿真模块；
4.常见环节：
	Continuous：连续环节；
	Discontinuities：非线性环节；
	Discrete：离散环节；
	Math Operations：数学运算环节；
	Sinks：输出方式；
	Sources：输入源；
5.从对应模型库中拖曳相应的环节到界面；

具体步骤：
1.建立开环系统模型：
选择"Continuous(连续环节)"中的"Transfer Fcn(传递函数)"模块拖曳到模型窗口，双击模块即可修改参数；

2.添加延迟环节：
选择"Continuous(连续环节)"中的"Transport Delay(传递函数延迟环节)"模块拖曳到模型窗口，双击模块修改参数；

3.确立负反馈信号输入：
选择"Math Operations(数学运算环节)"中的"Sum(综合)"模块拖曳到模型窗口，把"List of sign"的编辑框的"++"修改为"+-"(负反馈)；

4.添加增益环节：
选择"Math Operations(数学运算环节)"中的"Gain(增益)"模块拖曳到模型窗口，双击模块修改参数，并选择"Format|Flip Block"对模块进行翻转；

5.确定输入信号：
选择"Source(输入源)"中的"Step(阶跃输入信号)"模块拖曳到模型窗口，双击模块修改参数，将"Step time(阶跃时刻)"修改为0；

6.确定仿真输出方式：
选择"Sinks(输出方式)"中的"Scope(示波器)"模块拖曳到模型窗口；

7.模块连接；

8.完整模型如下图所示，双击示波器可显示结果；

9.2 综合运用2：复杂系统仿真

ExampleB-10：

设线性定常系统的状态方程为：
$\dot{x}(t)= \begin{bmatrix} -2 & -2.5 & -0.5\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}x(t)+ \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}u(t),y(t)= \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3.5 \end{bmatrix}x(t),x(0)= \begin{bmatrix} 1\\-0.75\\0.4 \end{bmatrix}$
问：

能否通过状态反馈将系统的闭环极点配置在 $- 1 、 - 2 、 - 3$ 处？如有可能，求上述极点配置的反馈增益向量 $k$ ；
当系统的状态不可直接测量时，能否通过状态观测器来获取状态变量？如有可能，设计一个极点位于 $- 3 、 - 5 、 - 7$ 的全维状态观测器.

解：

【设计步骤】

检查系统的可控、可观测性。若被控系统可控可观测，则满足分离定理，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行；
对于系统 $\dot{x}=Ax+bu$ ，选择状态反馈控制律 $u = - k x + v$ ，使得通过反馈构成的闭环系统极点，即 $(A - bk)$ 的特征根配置在期望极点处；
构造全维状态观测器 $\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+bu-hc(\hat{x}-x)=(A-hc)\hat{x}+bu+hy$ ，设计观测器输出反馈阵 $h$ ，使得观测器极点，即 $(A - h c)$ 的特征根位于期望极点处；
利用分离定理分别设计上述状态反馈控制律和观测器，得复合系统动态方程为：
$\begin{bmatrix} \dot{x}\\ \dot{\hat{x}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & -bk\\ hc & A-bk-hc \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ \hat{x} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b\\ b \end{bmatrix}v，y= \begin{bmatrix} c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ \hat{x} \end{bmatrix}$

% exampleB_10.m
% 状态方程各矩阵
A=[-2 -2.5 -0.5;1 0 0;0 1 0];
b=[1 0 0]';
c=[1 4 3.5];
d=0;

N=size(A);n=N(1);
sys0=ss(A,b,c,d);               % 系统状态空间模型；
S=ctrb(A,b)                     % 可控性矩阵；
f=rank(S);

if f==n
    disp('system is controlled')
else
    disp('system is not controlled')
end

V=obsv(A,c)                     % 可观测性矩阵；
m=rank(V);

if m==n
    disp('system is observable')
else
    disp('system is not observable')
end

P_s=[-1 -2 -3];                 % 系统的期望配置极点；
k=acker(A,b,P_s)                % 计算系统的反馈增益向量k；
P_o=[-3 -5 -7];                 % 观测器的期望配置极点；
h=(acker(A',c',P_o))'           % 计算观测器输出反馈向量；

A1=[A -b*k;h*c A-b*k-h*c];
b1=[b;b];
c1=[c zeros(1,3)];
d1=0;

x0=[1 -0.75 0.4]';
x10=[0 0 0]';

sys=ss(A1,b1,c1,d1);            % 建立复合系统动态模型；
t=0:0.01:4;
[y,t,x]=initial(sys,[x0;x10],t);    % 计算系统的零输入响应；

figure(1)
plot(t,x(:,1:3));grid;          % 零输入响应系统状态曲线；
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');

figure(2)
plot(t,x(:,4:6));grid;          % 零输入响应观测状态曲线；
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');

figure(3)
plot(t,(x(:,1:3)-x(:,4:6)));grid;   % 零输入响应状态误差曲线；
xlabel('t(s)');ylabel('e(t)');

【结果分析】

结果如下：

S =
    1.0000   -2.0000    1.5000
         0    1.0000   -2.0000
         0         0    1.0000
system is controlled
V =
    1.0000    4.0000    3.5000
    2.0000    1.0000   -0.5000
   -3.0000   -5.5000   -1.0000
system is observable

可见系统完全可控可观测；

反馈增益向量和观测器输出反馈向量如下：

k =
    4.0000    8.5000    5.5000
h =
   35.2324
  -19.8169
   16.2958

【使用Simulink仿真】

Simulink环境下的组合系统模型如下图所示：

1.选择"Continuous(连续环节)"子模型库的"State-Space(状态空间)"模块，其参数为(上图中State-Space)：
A=[-2 -2.5 -0.5;1 0 0;0 1 0],
b=[1;0;0],
c=eye(3),
d=[0;0;0],
Initial conditions=[1 -0.75 0.4]

2.选择"Math operations(数学运算)"子模型库的"Gain(增益)"模块，其参数为(上图中c)：
[1 4 3.5],
Multiplication引导框选择"Matrix(K*u)"；

3.选择"Continuous(连续环节)"子模型库的"State-Space(状态空间)"模块，其参数为(上图中Obsever-Space)：
A=[-2 -2.5 -0.5;1 0 0;0 1 0]-[35.2324;-19.8169;16.2958]*[1 4 3.5],
b=[35.2324;-19.8169;16.2958],
c=eye(3),
d=[0;0;0]

4.选择"Math operations(数学运算)"子模型库的"Gain(增益)"模块，其参数为(上图中k)：
[4 8.5 5.5],
Multiplication引导框选择"Matrix(K*u)"；

5.选择"Sources(信号源)"子模型库的"Constant"模块，参数为：0
6.选择"Math operations(数学运算)"子模型库的"Sum"(两个)、"Add"(一个)；
7.选择"Sink(输出)"子模型库的"Scope"模块(三个)；
8.连线，run，然后双击"Scope"可得以下结果；