数字逻辑第二章笔记
目录
逻辑运算
与逻辑
或逻辑
非逻辑
与非逻辑
或非逻辑
异或逻辑
同或逻辑
逻辑代数中的公式
基本公式
常用公式
关于异或逻辑
三种规则
代入规则
反演规则
对偶规则
逻辑函数的表示方法
真值表
函数表达式
逻辑图
表示方法的相互转换
逻辑函数的标准形式
最小项表达式
最大项表达
逻辑函数的化简
无关项及其应用
本章小结
事物因果之间遵循的规律称为逻辑
逻辑运算
在逻辑代数当中,将食物之间最基本的逻辑关系定义为与、或、非三种,其他逻辑关系则可以看作是基本逻辑关系的组合
与逻辑
假设确定某一个事件发生的条件共有n(n>=2)个,只有当所有条件都满足时,事件才会发生,这种逻辑关系称为与(AND)逻辑,或称为与运算。可以理解为电路之中的串连
A | B | Y |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
从真值表可以看出,与逻辑运算规律和代数中的乘法运算规律相同,因此与逻辑也称为逻辑乘法,其运算表达式记为,或者简写为
或逻辑
假定决定某一个事件发生的i傲剑共有n(n>=2)个,至少有一个条件满足时,事件就会发生,这种逻辑关系称为或(OR)逻辑,也称为或运算,可以理解为电路中的并联
A | B | Y |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
从真值表中可以看出,逻辑或也可以成为逻辑加法,即,在或逻辑当中1 + 1 = 1,反映事物的因果关系
非逻辑
决定某一事件只有一个条件,当条件满足时不发生,当条件不满足时事件则会发生,这种关系称为逻辑(NOT)非关系,或者称为逻辑反
A | Y |
1 | 0 |
0 | 1 |
从真值表中可以得到或者,读作Y等于A非或者Y等于A反
与非逻辑
先与后非
真值表
A | B | Y |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
或非逻辑
先或后非
真值表
A | B | Y |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 |
异或逻辑
异1同0
真值表
即
A | B | Y |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
同或逻辑
同1异0
真值表
即
A | B | Y |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
同或与异或互为反运算
因此,同或也称为异或非运算
逻辑代数中的公式
基本公式
1.常量与常量的运算关系
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 0‘ = 1
1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 1’ = 0
2.常量与变量的运算关系
0律:0 + A = A 0 * A = 0
1律:1 + A = 1 1 * A = A
0律反映了逻辑常量0和逻辑变量之间的运算关系,1律反映了逻辑常量1和逻辑变量之间的运算关系
3.变量与变量的运算关系
<1>重叠律 A + A = A A * A = A
<2>互补律 A + A' = 1 A * A' = 0
<3>交换律 A + B = B + A A * B = B * A
<4>结合律 A + (B + C) = (A + B) + C A * (B * C) = (A * B) * C
<5>分配律 A(B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)
<6>还原律 A'' = A
<7>德 摩根定理 (AB)' = A' + B' (A + B)' = A'B'
常用公式
1.吸收公式
A + AB = A
推理:A * 1 + AB = A(1 + B) = A * 1 = A
2.消因子公式
A + A'B = A + B
推理:A + A'B = (A + A')(A + B) = A + B
3.并项公式
AB + AB' = A
推理:AB + AB' = A(B + B') = A * 1 = A
4.消项公式
AB + A'C + BC = AB + A'C
推理:AB + A'C + BC = AB + A'C + (A + A')BC = AB + A'C + ABC + A'BC = (AB + ABC) + (A'C + ABC') = AB + A'C
关于异或逻辑
1.与常量的关系:
2.交换律:
3.结合律:
4.分配律:
5.定理:如果那么,
三种规则
代入规则
代入规则是指对于任何一个包含变量X的逻辑等式,若将等式中所有的X用另外一个逻辑式替换,那么等式仍然成立
反演规则
求逻辑函数反函数的过程称为反演
对于任意一个逻辑式Y,若在式中做以下三类变换:
1.将式子当中的所有*换成+,+换成*
2.将所有常量0换成1,1换成0
3.将原变量换成反变量,反变量换成原变量
注意:
1.注意运算的优先顺序
2.不属于单个变量上的非号保留不变
对偶规则
在解释对偶规则之前,首先定义对偶式
对于任意逻辑式Y,若在式中做以下两类变换:
1.将所有的*换成+,+换成*
2.将所有的常量0换成1,1换成0
将得到一个新的逻辑式,这个新定义的逻辑式为原来逻辑式的对偶式即为
对偶规则是指,对于两个逻辑式Y1和Y2,若Y1=Y2,则
逻辑函数的表示方法
对于任意一个逻辑式Y,当逻辑变量的取值确定以后,运算结果便随之确定,因此运算结果与逻辑变量之间是一种函数关系,称为逻辑函数
在逻辑代数中,逻辑变量习惯于用单个大写的英文字母A、B、C表示,运算结果习惯于用Y或Z等字母表示,因此逻辑函数一般表示为Y = F(A,B,C,...),其中F表示一种函数关系
真值表
对你没看错就是离散数学当中的真值表,真值表能够详尽地反应逻辑结果与变量取值之间的关系,是逻辑函数常用的一种表示方法,同时真值表也与逻辑函数的标准形式之间存在对应的关系
函数表达式
对于三人表决问题,仅仅有任意其二人同意即可,不管第三人是否同意
因此可列出逻辑表达式Y = AB + AC + BC
逻辑图
例如
表示方法的相互转换
真值表、函数表达式和逻辑图是逻辑函数的不同表达形式,可以进行相互转换
1.根据函数表达式画出逻辑图
2.从逻辑图写出函数表达式
3.从函数表达式列出真值表
4.从真值表写出函数表达式
<1>找出真值表当中所有使Y = 1的输入变量取值组合
<2>每个取值组合对应一个乘积项,其中取值为1的写为原变量,取值为0的写为反变量
<3>将这些乘积项相加,即可得到Y的逻辑函数式
逻辑函数的标准形式
Y = A + BC(与或式)
Y = (A + B)(A + C)(或与式)
Y = (A'(BC)')'(与非-与非式)
Y = ((A + B)' + (A + C)')'(或非-或非式)
另外由其反函数带来另外四种形式:或非或式、与非与式、或与非式、与或非式一共这8种形式
根据实现器件的种类不同,有时需要在不同形式之间进行转换。为了方便讨论,首先为逻辑函数定义两种标准形式:最小项表达式和最大项表达式
最小项表达式
在介绍最小项表达式之前,先定义最小项。在n变量逻辑函数种,每一个变量都参加,并且只能以原变量或者反变量出现一次所组成的与项称为最小项,用m表示,由于每个变量都参加,所以最小项取值为1的概率式最小的,故得名
一般地,n变量逻辑函数共有2^n个最小项,当逻辑函数的变量数变多时,书写和识别最小项越麻烦,因此有必要给最小项进行编号
最小项的编号方法:在最小项中,原变量记为1,反变量记为0,将得到的数码看成二进制数,那么与该二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号
最小项的重要性质
1.对于输入变量的任意一组取值组合,必有一个最小项,而且仅有一个最小项为1
2.同一逻辑函数的所有最小项之和为1
3.任意两个最小项的乘积为0
4.只有一个变量不同的两个最小项称为相邻最小项,在逻辑函数式中,两个相邻最小项可以合并成一项,并消去一对因子
最小项的性质4是用卡诺图化简逻辑函数的理论基础
全部由最小项相加构成的与或式称为最小项表达式
由真值表直接写出的函数表达式即为最小项表达式
最大项表达
在n变量逻辑函数中,每一个变量都参加,并且只能以原变量或者反变量出现一次所组成的或项,称为最大项,用M表示。由于每个变量都参加,故最大项取值为1的概率是最大的,故得名
一般地,n变量逻辑函数共有2^n个最大项,最大项的编号方法:在最大项中,原变量记为0,反变量记为1,将得到的数码看成二进制数,那么与该二进制数对应的十进制数就是该最大项的编号
最大项的重要性质
1.对于输入变量的任意一组取值组合,必有一个最大项,而且仅有一个最小项为0
2.同一逻辑函数的所有最小项之积为0
3.任意两个最大项之和为1
4.只有一个变量不同的两个最小项称为相邻最大项,在逻辑函数式中,两个相邻最大项之积等于各相同变量之和,例如Y = (A + B + C)(A + B' + C) = A + C
全部由最大项相乘构成的或与式称为最大项表达式
由此可以得出最大项表达式的一般写法
1.找出真值表中所有使Y = 0的输入变量的取值组合
2.每个取值组合对应一个最大项,其中值为0的写原变量,值为1的写反变量
3.将这些最大项相乘,即得到Y的最大项表达式
标准与或式->(反函数)->两侧同时取反->标准或与式
逻辑函数的化简
利用最小项表达式画出卡诺图即可,逻辑函数中存在某个最小项,就在相应的最小项之中写1,否则写0,注意卡诺图的两组变量是按照循环码取值而并非二进制码递增,因此可简单理解为一个有i行j列的卡诺图其中的元素先第j - 1与第j列互换,而后第i - 1行与第i行互换
卡诺图示例
卡诺图的关键:消异取同
在卡诺图中,如果有2^n(n为正整数)各最小项相邻并排成一个矩形,则他们可以合并成一项,并消去n对因子。化简步骤:
1.先将逻辑函数时展开为最小项表达式
2.画出该逻辑函数的卡诺图
3.观察可以合并的最小项,寻找最简化简方法,原则是圈数越少越好,圈越大越好
需要注意的式,卡诺图中的圈应覆盖图中所有的最小项,如果某个最小项与其他最小项都不相邻,那么也需要用一个圈圈起来表示化简为一项
无关项及其应用
n变量逻辑函数共有2^n个取值,但对于一些实际问题,有些取值组合并没有实际意义。在问题当中,不能去的取值对应的最小项称为该逻辑问题的约束项。由最小项的性质可得,在正常取值的情况下,约束项的值恒为0,即约束项之和为0,该式子称为逻辑问题的约束条件(约束方程)
由于在正常情况下,约束项的值恒为0,所以将约束项写入函数表达式或者不写入,对于逻辑函数并没有影响,但是对于卡诺图时则会有差异,写入约束项时在对应的格子中应填1,不写入时应填0,也就是说在卡诺图当中,在约束项对应格子填1或0都可,所以我们填X表示即可1也可0
有时还会遇到另外的一些实际问题,在变量的某些取值下定义函数值为1或者为0并不影响电路的逻辑功能,那么这些取值所对应的最小项称为该逻辑问题的任意项
在逻辑代数中,将约束项和任意项统称为无关项,用d来表示
本章小结
逻辑代数是处理事物因果关系的数学,定义了与、或、非、与非、或非、以及异或、同或七种逻辑运算,其中异或逻辑和同或逻辑为两变量逻辑函数
逻辑代数中的基本公式包含0律和1律,重叠律、互补律和还原律,交换律、结合律和分配律以及德 摩根定律,其中德 摩根定律反映了逻辑与和逻辑或之间的内在联系和转化关系,应用与逻辑函数形式的变换
逻辑代数中的常用公式是指由基本公式推导出来的实用公式,包括吸收公式、并项公式、消因子公式和消项公式,主要用于逻辑函数的公式法化简
逻辑代数有代入、反演和对偶三种基本规则。代入规则能够扩大逻辑等式的应用范围,反演规则用于求解逻辑函数的反函数,而对偶规则是逻辑代数内在特性的表现
逻辑函数是表示事物逻辑关系的函数,有真值表、函数表达式、逻辑图、卡诺图和波形图五种表示方法,其中真值表、函数表达式和逻辑图是逻辑函数的三种的基本表示方法。卡诺图既可以表示函数还方便化简逻辑函数,在三变量和四变量逻辑函数的化简中广泛应用
逻辑函数有最小项表达式和最大项表达式两种标准形式,两种标准表现形式与逻辑函数的真值表存在对应关系,可以从真值表中直接推出
逻辑函数的化简有公式法、卡诺图法和Q-M化简法三种。公式法是应用逻辑代数中的基本公式和常用公式化简逻辑函数。卡诺图发具有直观,形象的有点,适合于三变量、四变量逻辑函数的化简。Q-M法是基于列表的逻辑函数化简方法,具有固定的处理模式,适合于应用计算机进行化简,因而在计算机辅助分析和设计中应用广泛
无关项实际指实际问题中的约束项和任意项,合理使用无关项可以简化逻辑电路设计,能够降低电路成本,提高电路工作的可靠性