一元三次方程的根

1. 题目描述

有形如：$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 这样的一个一元三次方程。
给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。
提示： 记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1 < x2，f(x1)*f(x2) < 0，则在(x1，x2)之间一定有一个根。
输入一行，包含四个实数a，b，c，d，相邻两个数之间用单个空格隔开。
输出一行，包含三个实数，为该方程的三个实根，按从小到大顺序排列，相邻两个数之间用单个空格隔开，精确到小数点后2位。
样例输入
1.0 -5.0 -4.0 20.0
样例输出
-2.00 2.00 5.00

2. 问题分析与算法设计思路

1）基本思路

我使用的根的存在定理来解这个问题。对于方程$f(x)=0$，如果$f(x_1)\ast f(x_2)<0$，则在 x₁ 和 x₂ 之间至少存在一个实根。注意根的存在定理反过来不一定成立，即$f(x_1)\ast f(x_2)>0$不能说明 x₁ 和 x₂ 之间就没有根。

利用根的存在定理，我们就可以递归地对指定区间进行二分搜索。通过搜索我们将得到根的近似解。如何确定达到了需要的近似精度呢？

1）区间内有根存在，且区间长度小于指定精度
2）某点处函数值为 0

2）小心浮点数存储方式的影响

注意小数在计算机中存储的是一个近似值，直接判断浮点数相等是不安全的行为。可参考下面的程序代码。我们可以改用判断：

该浮点数与 0 的差的绝对值，是否小于某个微小值（自己设定）

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
	double a = 0;
	cout<<"a: "<<a<<endl;
	
	if(a == 0) 
		cout<<"yes"<<endl;
	else 
		cout<<"no"<<endl;
		
	a = a + 0.05;
	a = a - 0.02;
	a = a - 0.03;
	cout<<"a: "<<a<<endl;
	
	if(a == 0) 
		cout<<"yes"<<endl;
	else 
		cout<<"no"<<endl;
	return 0;
}

运行结果

3）如何判断：一个区间是否值得继续搜索

在判断要不要对一个区间进行搜索时，由于根的存在定理的逆命题不成立，我们无法单纯地依靠它进行判断。不过可以设定一个阈值：当区间缩小到某个程度后仍然不能满足根的存在定理时，我们就认为这个区间中将不会有方程的根。

具体的区间阈值大家可以自由选取、多做尝试。我这里使用的是 1 （可能有点草率，但也通过了测试数据）。

3. 算法实现

#include<iostream>
using namespace std;

double result[3]={};//存放方程的根 
int count=0;//已经找到的方程的根的数量 

//前向推导函数值 
//bug:之前x的类型使用的int 
double fx(double can[4], double x){
	return can[0]*x*x*x + can[1]*x*x + can[2]*x + can[3];
}

//绝对值
double jdz(double x){
	if(x < 0) x = -x;
	return x;
} 

void find_gen(double first, double end, double can[4]){
	if(count >= 3) return;
	
	double mid = (first + end) / 2;
	double mid_p = 0;
	double fx1 = fx(can, first);
	double fx2 = fx(can, end);
	double fx0 = fx(can, mid);
	bool cheng = (fx1>0.0001 && fx2>0.0001) || (fx1<0.0001 && fx2<0.0001);
	
	if(jdz(fx0) - 0 < 0.0001){
		result[count++] = mid;
		mid_p = 0.01;
	}
	
//	printf("first %.4lf, end %.4lf, mid %.4lf\n",first, end, mid);
//	printf("fx1 %.4lf, fx2 %.4lf, cheng %d\n", fx1, fx2, cheng);
//	printf("result: %.4lf, %.4lf, %.4lf\n\n", result[0], result[1], result[2]);
	
	//符合根的存在定理说明有根，但不符合并不能说明没有根 
	if(cheng == 0 || end - first > 1) {
		if(end - first < 0.01) {
			result[count++] = mid;
			return;
		}
		find_gen(first, mid - mid_p, can);
		find_gen(mid + mid_p, end, can);
	}
}

int main(){
	double can[4] = {};
	cin>>can[0]>>can[1]>>can[2]>>can[3];
	
//	cout<<"参数："<<can[0]<<' '<<can[1]<<' '<<can[2]<<' '<<can[3]<<endl;
	
	find_gen(-100.0, 100.0, can);
	
	cout<<result[0]<<' '<<result[1]<<' '<<result[2]<<endl;
	
	return 0;
}

4. 运行结果

5. 算法分析

在对有序数组的搜索中，二分搜索是一种高效的方法。对长度为n的数组的搜索，时间复杂度为：$o(log(n))$。

与数组的二分搜索的不同之处：

我们通常仅需从数组中找到一个值，因此每次搜索，剩余的搜索空间将变为原来的一半；而一个方程却可以有多个根。在决定是否放弃一个搜索区间时，我没有很合适的判断标准。
因此，前面说的搜索到区间长度小于某个阈值的方法，其实更像是在遍历。只有在某个确定有根存在的、长度已经小于阈值的区间上，才更像是一次二分搜索。

由“递归中的遍历本质”产生的优化方法：

鉴于该递归算法中实际上隐藏着一个遍历阶段，而递归程序本身又是一种时间开销大的写法。其实我们还可以干脆一点：就使用循环遍历+对存在根的小区间二分搜索。有兴趣的小伙伴可以自己尝试一下！

于是，在考虑该算法的时间开销时，可以分为两个阶段：遍历阶段和二分阶段。

遍历阶段的时间复杂度和初始搜索区间长度以及设定的阈值有关；而二分阶段的时间复杂度和设定的阈值以及要求的结果精度有关。也就是说，输入的规模仅仅是影响算法时间开销的一个因素。因此，时间复杂度的分析超出了我的分析能力，就先不具体分析了叭！😅

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