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数学建模----拟合的实现

news 来源：原创 2024/5/14 17:32:07

一次作业展示

我用的是Python编写程序。也就 Scipy 里的 curve_fit指令

curve_fit指令是由一点小问题的。

我们小看一下具体的问题

引入相关包

from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

matplotlib.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
matplotlib.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

定义需要你拟合的函数

def fun(t,a,b,c):
    return a + b*t + c*t**2

定义界限

#bounds
bounds = [[0,0,0],[1,2,3]]
#表示 amin,bmin,cmin ; amax,bmax,cmax

设置参数并开始拟合

x = [0.01 * i for i in range(1000)]
y = [0.7+1.5*i+2.1*i**2 for i in x]

p_fit,pcov = curve_fit(fun,x,y,bounds=bounds)
a,b,c = p_fit.tolist()
print("a "+str(a))
print("b "+str(b))
print("c "+str(c))

>>>a 0.7000000000000016
>>>b 1.4999999999999993
>>>c 2.1

tips 实际工作的时候，你会发现，这个工作绝对没有我这里展示得这么简单。
- parameters
  - 你会发现，虽然它有很多个参数，但非数学学院的孩子可能已经发现，这个恐怕是略有难度的（请上官网阅读）
  - f
  - xdata
  - ydata
  - bounds
- return
  - popt
    - 按照SSE最小的原则选出的最优参数
  - pcov
    - 协方差矩阵
- Raises
  - ValueError
    - xdata 或 ydata 中含有 Not a Number
  - RuntimeError
    - 最小二乘法跑不动啦
  - OptimizeWarning
    - 协方差矩阵无法估计得出
采样曲线
数据先期处理
- 前段数据明显有很大的偏差，是一个很不合理的数据。所以清洗掉前 50 个数据后我
  
  们得到图像，这个图像就合理多了。

我们最好使用一个指数函数来描述它的降落。但也许一个多项式函数也很有价值呢？所

以我们选择指数函数与多项式函数的叠加，但加上系数，例如 $V=f_1V_0exp(at)+f_2P(t^n)$

我们很顺利得得到

参数
- V0
  
  10.999999999574499
  
  a
  
  -0.000498879687115049
  
  b
  
  -0.2948910057472579
  
  c
  
  0.00474997000539258
  
  d
  
  -8.960374326579795e-07
- 残差 SSE= 0.8664783171803022

import xlrd as xl
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
import math
from scipy.optimize import curve_fit
matplotlib.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
matplotlib.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
data = xl.open_workbook("附件2 电池放电测试（30A）采样数据.xls")
work_sheet = data.sheets()[0]
all_rows = work_sheet.nrows
time,voltage = [0 for i in range(all_rows-1)],[0 for i in range(all_rows-1)]
for i in range(1,all_rows):
    time[i-1] = work_sheet.cell_value(i,0)
    voltage[i-1] = work_sheet.cell_value(i,1)
#plt.plot(time,voltage,label="电池放电")
#plt.xlabel("放电时间")
#plt.ylabel("电压",rotation=True)
#plt.legend()
#plt.savefig("电池放电原始记录,jpg")
#plt.cla()
#plt.plot(time[5:],voltage[5:],label="电池放电")
#plt.xlabel("放电时间")
#plt.ylabel("电压",rotation=True)
#plt.legend()
#plt.savefig("电池放电清洗后记录,jpg")
start = 50
time = time[start:]
voltage = voltage[start:]
plt.scatter(time,voltage,marker="o",c="red",s=0.5)
def fun(t,v0,a,b,c,d):
    #v0*math.e**(a*t)+
    #+(b*t+c*t**2+d*t**3)
    #return v0*math.e**(a*t)+(b+c*t+d*t**2)
    return v0*math.e**(a*t)+(b+c*t+d*t**2)
p_fit,pcov = curve_fit(fun,time,voltage,bounds=[[9,-2,-2,-2,-2],[11,2,2,2,2]])
v0,a,b,c,d = p_fit.tolist()
time0 = [i for i in range(start,int(time[-1]))]
plt.plot(time0,[fun(i,v0,a,b,c,d) for i in time0],linestyle="-.",c="b",linewidth=2)
SSE = sum([(fun(time[i],v0,a,b,c,d)-voltage[i])**2 for i in range(len(time))])
plt.xlabel("放电时间")
plt.ylabel("电压",rotation=True)
plt.savefig("电池放电拟合图.jpg")
plt.show()
print(SSE)

为了缩减误差，我们将每个电压值减去9，做同样的操作后，得到

参数
- V0
  
  1.5999999999996954
  
  a
  
  -0.0011712982921128377
  
  b
  
  0.10761472318925852
  
  c
  
  0.0010752299243068316
  
  d
  
  -4.353127243058634e-07
- 残差 SSE= 1.0248705943495118

import xlrd as xl
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
import math
from scipy.optimize import curve_fit
matplotlib.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
matplotlib.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
data = xl.open_workbook("附件2 电池放电测试（30A）采样数据.xls")
work_sheet = data.sheets()[0]
all_rows = work_sheet.nrows
time,voltage = [0 for i in range(all_rows-1)],[0 for i in range(all_rows-1)]
for i in range(1,all_rows):
    time[i-1] = work_sheet.cell_value(i,0)
    voltage[i-1] = work_sheet.cell_value(i,1)
start = 50
time = time[start:]
voltage = voltage[start:]
voltage = [i-9 for i in voltage]
plt.scatter(time,voltage,marker="o",c="red",s=0.5)
def fun(t,v0,a,b,c,d):
    #v0*math.e**(a*t)+
    #+(b*t+c*t**2+d*t**3)
    #return v0*math.e**(a*t)+(b+c*t+d*t**2)
    return v0*math.e**(a*t)+(b+c*t+d*t**2)
p_fit,pcov = curve_fit(fun,time,voltage,bounds=[[1.4,-10,-10,-10,-10],[1.6,10,10,10,10]])
v0,a,b,c,d = p_fit.tolist()
time0 = [i for i in range(start,int(time[-1]))]
plt.plot(time0,[fun(i,v0,a,b,c,d) for i in time0],linestyle="-.",c="b",linewidth=2)
SSE = sum([(fun(time[i],v0,a,b,c,d)-voltage[i])**2 for i in range(len(time))])
plt.xlabel("放电时间")
plt.ylabel("电压",rotation=True)
plt.savefig("电池放电拟合图.jpg")
plt.show()
print(SSE)

SSE变化不大，还行，说得过去。

其实这个问题还可以用更高级的方法解决。函数的主体部分一定是一个指数函数。至于误差的话，可以用支持向量机估计。

但是，最重要的问题是，电池电压的变化是有一定科学函数关系的。不太可能是随意给一个函数的。

我们查阅文献。

得到一个更好的方程 $V(T)=a+\sqrt{c-T}$

a	8.775331053692842
b	0.03661353006471206
c	2600.000378465227
SSE	0.9081344248801957

import xlrd as xl
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
import math
from scipy.optimize import curve_fit
matplotlib.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
matplotlib.rcParams["axes.unicode_minus"] = False
data = xl.open_workbook("附件2 电池放电测试（30A）采样数据.xls")
work_sheet = data.sheets()[0]
all_rows = work_sheet.nrows
time,voltage = [0 for i in range(all_rows-1)],[0 for i in range(all_rows-1)]
for i in range(1,all_rows):
    time[i-1] = work_sheet.cell_value(i,0)
    voltage[i-1] = work_sheet.cell_value(i,1)
start = 50
time = time[start:]
voltage = voltage[start:]
plt.scatter(time,voltage,marker="o",c="red",s=0.5)
def fun(t,v0,a,b,c,d):
    return a+b*(c-t)**0.5
p_fit,pcov = curve_fit(fun,time,voltage,bounds=[[9,0,0,2600,0],\
                                                [11,10,10,4600,10]])
v0,a,b,c,d = p_fit.tolist()
time0 = [i for i in range(start,int(time[-1]))]
plt.plot(time0,[fun(i,v0,a,b,c,d) for i in time0],linestyle="-.",c="b",linewidth=2)
SSE = sum([(fun(time[i],v0,a,b,c,d)-voltage[i])**2 for i in range(len(time))])
plt.xlabel("放电时间")
plt.ylabel("电压",rotation=True)
plt.savefig("电池放电拟合图.jpg")
plt.show()
print(SSE)

这样的残差平方和事实上已经很小了，只是你要明白一点就是，电池的结构决定了电池的放电规律不太可能用一个初等函数来表示。更有可能是一个更复杂的方程，这是由电池决定的，而不是有观测值决定的。

电池的放电规律与一般得分类问题不同，它是很难得到检验的。我们不能通过选取一个阶段的放电，将它与预测值比较来反映模型的准确性。即使考虑最简单的RLC电路，方程的解也不是严格得如我们的预测方程所示。

我们的拟合最多能够给出电池的放电结束时间，而且不一定准确。我们的拟合使函数尽可能得符合曲线而不是趋近物理事实，这是不合理的。或者对于同样的一块电池，预估放电时间与电压的关系。

研究物理过程不能只从现象观察，应该去研讨物理规律。当然，更加好的一个办法呢，还是使用分段函数来做它，在放电的最初阶段和最末阶段，电压的下降速率远远大于中间阶段，在物理过程不明晰的情况下，还是分段研究比较合理。
如果从软件使用的角度来看，我们初始值的选取是十分重要的。Science Python的curve_fit和Mathematica 的智能程度远远低于matlab或者其他软件。即使是使用Matlab，初始值的选取也能大大得减少运算时间。对于初始值怎么选呢？慢慢调参吧。。