【题解】同济线代习题二 8.1
前置定理 1 矩阵 A \boldsymbol{A} A 为对称矩阵的充分必要条件是有 A = A T \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^T A=AT。
证明 略。
题目
设 A \boldsymbol{A} A、 B \boldsymbol{B} B 为 n n n 阶矩阵，且 A \boldsymbol{A} A 为对称矩阵，证明 B T A B \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} BTAB 也是对称矩阵。
解答
根据前置定理 1，因为
A
\boldsymbol{A}
A 为对称矩阵，所以
A
=
A
T
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^T
A=AT。于是有
(
B
T
A
B
)
T
=
B
T
A
T
(
B
T
)
T
=
B
T
A
T
B
=
B
T
A
B
(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^T = \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T (\boldsymbol{B}^T)^T = \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTATB=BTAB
结合前置定理 1 可知，
B
T
A
B
\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
BTAB 是对称矩阵。