一、理论基础

1、SCA

请参考这里。

2、基于Lévy飞行的正弦余弦算法

（1）Lévy飞行学习机制

Lévy飞行的具体原理请参考这里。SCA种群中每个个体的位置更新只利用了自身信息$x_i^t$和全局最优个体$p^t$的信息，就能使种群快速向最优个体靠拢，但这也易导致算法陷入局部最优。因此，本研究让正弦余弦种群每个个体学习都拥有Lévy飞行的飞行能力，利用Lévy飞行在未知大规模空间的较强搜索能力，使改进算法SCAL能够解决大规模优化问题。SCAL使用式(1)计算种群个体的位置更新。$$X_{ij}^{t+1}=\{\begin{array}{l}L(s{)}_j^t\times X_{ij}^t+r_1\times \sin (r_2)\times \left|r_3{P}_j^t-X_{ij}^t\right|r_4<0.5\\ L(s{)}_j^t\times X_{ij}^t+r_1\times \cos (r_2)\times \left|r_3{P}_j^t-X_{ij}^t\right|r_4\ge 0.5\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$L(s{)}_j^t$为第$t$次迭代Lévy飞行分布的第$j$维。将Lévy飞行分布与种群个体的当前位置向量直接进行逐元素相乘计算，把Lévy飞行分布信息和特征融入种群个体中，使种群个体学习具有Lévy飞行的自相似和分形行为，拥有Lévy飞行能力。充分利用Lévy飞行在搜索时频繁的短距离局部游走的特征，使个体在其有限的邻域内随机地进行精细搜索，增加个体局部开发能力；利用Lévy飞行偶尔较长距离的跳跃游走特性，维持种群的多样性，增加种群有效逃离局部最优的概率，同时，又能飞行到更大的搜索空间探索，提高算法的全局搜索能力。

（2）基于距离的非线性调整策略

参数$r_1$对SCA比较重要，大部分变体都是对其进行改进以提高算法性能．在大规模高维度搜索空间中，当个体离全局最优解较远时，需大步长向全局最优解靠拢，以提高算法收敛速度；而当个体离全局最优解较近时，又需在其和最优解之间的小空间内进行精细开发。
鉴于此，本研究提出一种新的$r_1$计算方法，基于个体与全局最优解的空间距离自适应地非线性调整，以提高算法求解大规模优化问题的收敛速度，计算公式为：$$r_1=\left|X_i^t-p^t\right|=\sqrt{\sum _{j=1}^d{\left(X_{ij}^t-p_j^t\right)}^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$d$为维度；$p_j^t$为到第$t$次迭代全局最优解的第$j$维。当个体离全局最优解较近时，$r_1<1$，算法进入局部开发；反之，$r_1>1$，进入全局搜索。新的策略$r_1$的值包含了全局最优解信息和个体的信息，比基本SCA中单纯给定标量线性递减效果更好。

二、仿真实验与结果分析

将SCAL与SCA、FPA、PSO、SSA(麻雀搜索算法)和WOA进行对比，以文献[1]中提到的F1、F3、F5、F7(单峰函数/100维)、F9、F10、F11、F12(多峰函数/100维)为例，实验设置种群规模为20，最大迭代次数为600，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
SCAL：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
SCA：最差值: 26845.9499, 最优值: 1379.2677, 平均值: 10565.529, 标准差: 7871.8587
FPA：最差值: 7427.5249, 最优值: 4235.3435, 平均值: 6051.9117, 标准差: 905.1181
PSO：最差值: 12579.0353, 最优值: 7052.0874, 平均值: 9538.5475, 标准差: 1370.4711
SSA：最差值: 1.4636e-36, 最优值: 7.2766e-243, 平均值: 4.8793e-38, 标准差: 2.6722e-37
WOA：最差值: 8.8663e-73, 最优值: 6.3288e-89, 平均值: 4.8919e-74, 标准差: 1.8006e-73
函数：F3
SCAL：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
SCA：最差值: 476754.4992, 最优值: 127179.3524, 平均值: 262068.4747, 标准差: 70870.3902
FPA：最差值: 310975.471, 最优值: 99223.1719, 平均值: 223478.4395, 标准差: 47648.8179
PSO：最差值: 116308.5222, 最优值: 28821.7969, 平均值: 62162.1969, 标准差: 19659.9416
SSA：最差值: 5.0817e-30, 最优值: 0, 平均值: 1.6943e-31, 标准差: 9.2778e-31
WOA：最差值: 1646239.4758, 最优值: 666781.8442, 平均值: 1164978.1859, 标准差: 272513.2426
函数：F5
SCAL：最差值: 0.0066744, 最优值: 3.3852e-05, 平均值: 0.0019527, 标准差: 0.0018722
SCA：最差值: 89723946.8607, 最优值: 1589018.452, 平均值: 34261782.9317, 标准差: 17410503.0275
FPA：最差值: 1844183.0329, 最优值: 499010.0766, 平均值: 1015783.407, 标准差: 366686.1678
PSO：最差值: 2974679.9011, 最优值: 915993.0249, 平均值: 1734713.1807, 标准差: 502913.2535
SSA：最差值: 0.0039706, 最优值: 3.5994e-05, 平均值: 0.00067586, 标准差: 0.0008032
WOA：最差值: 0.026804, 最优值: 3.0214e-05, 平均值: 0.0028379, 标准差: 0.0053229
函数：F7
SCAL：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
SCA：最差值: 3567.2602, 最优值: 35.8981, 平均值: 1154.1107, 标准差: 884.2505
FPA：最差值: 839.367, 最优值: 413.1283, 平均值: 608.0426, 标准差: 125.2464
PSO：最差值: 1520.0076, 最优值: 734.6265, 平均值: 1068.5975, 标准差: 182.6087
SSA：最差值: 1.3285e-38, 最优值: 0, 平均值: 4.5593e-40, 标准差: 2.4236e-39
WOA：最差值: 6.8135e-74, 最优值: 1.6347e-89, 平均值: 2.51e-75, 标准差: 1.2458e-74
函数：F9
SCAL：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
SCA：最差值: 46.8577, 最优值: 6.7373, 平均值: 23.1092, 标准差: 10.404
FPA：最差值: 72.9827, 最优值: 37.843, 平均值: 57.6473, 标准差: 8.1026
PSO：最差值: 78.1904, 最优值: 45.2914, 平均值: 58.2693, 标准差: 8.0958
SSA：最差值: 6.6398e-05, 最优值: 0, 平均值: 2.2133e-06, 标准差: 1.2123e-05
WOA：最差值: 4.5847e-55, 最优值: 7.0222e-65, 平均值: 1.9115e-56, 标准差: 8.421e-56
函数：F10
SCAL：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
SCA：最差值: 691.0036, 最优值: 107.0802, 平均值: 287.3478, 标准差: 134.7089
FPA：最差值: 818.9184, 最优值: 723.2619, 平均值: 772.5831, 标准差: 24.3426
PSO：最差值: 708.9732, 最优值: 441.2927, 平均值: 569.7274, 标准差: 59.4548
SSA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
WOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
函数：F11
SCAL：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0
SCA：最差值: 20.6799, 最优值: 4.0271, 平均值: 18.8642, 标准差: 4.1972
FPA：最差值: 19.9656, 最优值: 10.2293, 平均值: 15.7688, 标准差: 2.3516
PSO：最差值: 14.5675, 最优值: 10.9124, 平均值: 13.1711, 标准差: 0.90053
SSA：最差值: 4.4409e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 1.125e-15, 标准差: 9.0135e-16
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 3.7303e-15, 标准差: 2.3603e-15
函数：F12
SCAL：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0
SCA：最差值: 214.5463, 最优值: 64.4918, 平均值: 137.1483, 标准差: 39.0078
FPA：最差值: 300.4145, 最优值: 271.8241, 平均值: 284.1846, 标准差: 7.2081
PSO：最差值: 282.8313, 最优值: 245.1243, 平均值: 271.3589, 标准差: 8.007
SSA：最差值: 8.6008, 最优值: 3.924e-23, 平均值: 0.3388, 标准差: 1.5842
WOA：最差值: 6.2422e-16, 最优值: 1.8905e-19, 平均值: 2.7621e-17, 标准差: 1.1328e-16

实验结果表明：SCAL算法在收敛精度、收敛速度和鲁棒性上较5种群体智能算法优势明显。

三、参考文献

[1] 张超, 杨忆. 求解大规模优化问题的改进正弦余弦算法[J/OL]. 深圳大学学报(理工版): 1-9 [2022-10-14].