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动态规划-斐波拉契数列笔记

news 来源：原创 2024/4/29 5:08:08

14天阅读挑战赛

目录

  • 简介
    • 算法知识点
    • 算法题目来源
    • 算法题目描述
    • 做题思路
      • 方法一：递归
      • 方法二：利用辅助数组
      • 方法三：动态规划
      • 方法四：矩阵求幂
      • 方法五：公式法
    • 模板代码
  • 结语

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简介

Hello！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
 
ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，获得过国家奖学金，有幸在竞赛中拿过一些国奖、省奖…已保研
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
 
唯有努力💪

算法知识点

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算法题目来源

来源：leetcode.cn/

算法题目描述

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

给定 N，计算 F(N)。

示例 1：

输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.

示例 2：

输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.

示例 3：

输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.

提示：

  • 0 ≤ N ≤ 30

做题思路

方法一：递归

从题目中可以看出，f(0)=0,f(1)=1,所以N<=1时，f(N)=N；N>1时，f(N)=f(N-1)+f(N-2)
那么可以很快写出下面的代码：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n <= 1) return n;
        return fib(n-1) + fib(n-2);
    }
};

运行结果

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上面代码是一个基础的递归写法。对于递归，海轰有这种感受：看到答案后，这题太简单了吧；只看题目，emm，太难，大概知道方法是啥，但就是写不出代码！
初学递归时，最难的就是无法知道程序具体是如何运行的？每一步干啥了？
笨鸟先飞！既然咱们的大脑想不出，那就动手模拟程序的运行过程，想象自己就是计算机，运行一次代码。这里我们假设需要计算f(4)，得到如下的程序运行图：

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从图中我们可以发现：首先进入fib函数时，N=4，发现不满足N<=1的条件，那么就运行return 语句，而运行retun fib(3)+fib(2)，首先需要计算fib(3),那么进而转入下一个fib函数，此时N=3，发现不满足N<=1,那么就运行return， 而运行return f(2)+f(1),又需要计算f(2),那么又转了下一个fib函数，此时N=2…
按照上图的路径跑一下f(4)是如何计算出的，那么对于f(N)的一般过程我们也就可以懂了。开始的时候觉得这样画图很浪费时间，没有必要，但是每次遇到递归时，都需要思考很久，因为不知道具体程序如何运行，特别是二叉树那里！多画了几次后，渐渐也懂了递归的思想，简单题慢慢也可以做出了。

方法二：利用辅助数组

将上面的图简化，得到下图。

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我们可以发现使用方法一，我们做了非常多的无用功：比如计算f(4)时，我们需要算出f(2)，而在计算f(3)时，我们又需要计算f(2)…当N非常大的时候，这样的重复计算就会浪费非常多的时间。
那么有什么办法可以解决这个问题呢？
假设第一次计算出f(2)后，我们将它保存在数组中，下一次需要用到f(2)时，我们直接从数组中提取。这样一来，每个f(n)就只计算了一次，大大提高了运行效率。
编写代码如下：（递归+全局辅助数组）

// 定义全局辅助数组，因为由题目已知最大N=30，那么数组长度最多为31，初始化都为-1，
// 计算出一个f值，填入对应数组中的一个元素 
// 每次先测试对应数组中的元素，如果为-1，表示尚未计算，需要进行第一次的计算
// 如果不为-1 表示已经计算过了 直接提取即可
// 假设我们需要f(10),首先看看a[10]是否为-1，如果a[10]=-1,则需要计算f(10)
// 反之 直接提取a[10]中的值即可
vector<int> a= vector<int> (31,-1);
int fib(int N)
{
    if (N <= 1)
        return N;
    // 如果已经计算过 则直接返回存在数组中的值
    if (a[N] != -1)
        return a[N];
    // 若没有 则需要计算出 并保存在相应的位置
    a[N] = fib(N - 1) + fib(N - 2);
    return a[N];
}

运行结果

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在上面的代码中，海轰使用了全局辅助数组来存储f(n)。不知道细心的小伙伴发现没有，数组a的长度这里是直接采用的N的最大值+1。题目中N<=30,但假设N=10000时，我们每次都生成长度为10001长度的数组，那么在计算f(3)、f(10)…的时候，会造成非常大的空间浪费。
优化方案：动态分配，根据N的大小，每次固定分配N+1的空间（生成长度为N+1的数组）
改进后编写代码如下：（递归+辅助数组）

int help(vector<int> &a,int N){
    if(N<=1) return N;
    if(a[N]!=-1) return a[N];
    a[N]=help(a,N-1)+help(a,N-2);
    return a[N];
}
int fib(int N)
{
    vector<int> a(N+1,-1);//每次生成数组的长度永远都是N+1 动态变化
    return help(a,N);
}

运行结果

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方法三：动态规划

在方法二中，我们可以发现，计算f(20)时,需要先计算f(19)【注：f(20)=f(19)+f(18),代码中是return f(n-1)+f(n-2),所以会需要先计算f(19),f(19)计算完成后，再计算f(18)】；计算f(19)时，需要先计算f(18)…可以发现程序计算的顺序是：20->19->18->17… 从顶向下的。
那么是否可以反过来？从底向上呢？答案是：可以的。
通过表达式f(N)=f(N-1)+f(N-2)可得，一个表达式的值是由前面两个表达式决定的【f(0)、f(1)除外】。假设我们求f(4)，由已知：f(0)=0 f(1)=1, 可以求得 f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1 f(3)=f(2)+f(1)=1+1=2 f(4)=f(3)+f(2)=3。这样不就是从底向上求得结果了吗？【哈哈，其实仔细想想，这不就是我们平时自己的思路吗】
那么如何模拟这种思路呢？这里我们依然借助一个数组a，长度为N+1【为啥长度是N+1？假设N=4，那么我们需要计算f(0)、f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，需要长度为5的数组存储每一个f(n)】
首先f(0)=0 f(1)=1是已知的，也就有：a[0]=1 a[1]=1,然后依次计算f(2)、f(3)…
以f(2)计算为例：
f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1
计算出后，立马存入a[2]：a[2]=1
计算f(3)时 如果用f(3)=f(2)+f(1)，这里f(2)是未知的哦
但是还记得我们在数组中存储了f(2)吧 也就是a[2]
所以
f(3)=a[2]+a[1]
依次类推 得出规律
a[n]=a[n-1]+a[n-2] // 需要求f(n) ，仔细想想，是不是就是求a[n]

编写代码如下：（自底向上）

class Solution {
public:
int fib(int N)
{
    // N<2 直接返回N
    if(N<=1) return N;
    
    // N>=2时
    // 利用一个辅助数组，存下N对应于数组中的值
    // 比如 算出f(2)=1后，令a[2]=1 便于后面的运算
    vector<int> a(N+1,0);
    a[0]=0;
    a[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;++i){
        a[i]=a[i-1]+a[i-2];
    }
    return a[N];
}
};

运行结果

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思考：
不知道有小伙伴发现没有，其实每次参与运算的变量其实就两个：一个f(n),一个f(n-1)，以f(7)为例：f(2)=f(1)+f(0)–>f(3)=f(2)+f(1)–>f(4)=f(3)+f(2)… f(7)=f(6)+f(5)
优化：
我们可以使用两个变量P1、P2，其中P1是左边较小，P2是右边较大的。
初始化：P1=0 P2=1
两个指针分别更新：P2=P2+P1 P1=P2（这里的P2是指原来的P2=1，不是与P1相加后的P2，所以需要一个临时变量存储原来的P2）
移动规则：

temp=P2
P2=P2+P1;
P1=temp;

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编写代码如下：

int fib(int N)
{
    if(N<=1) return N;
    int p1=0;
    int p2=1;
    for(int i=2;i<=N;++i){
        int temp=p2;
        p2+=p1;
        p1=temp;
    }
    return p2;
}

运行结果

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注：优化后性能确实会提升，上图仅为某一次运行截图

方法四：矩阵求幂

由数学可得：斐波那契数列矩阵方程

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方程解释如下：

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编写代码如下：

int fib(int N)
{
    if(N<=1) return N;
    int A[2][2]={
        {1,1},
        {1,0}};
    martixpower(A,N-1);// 求 A矩阵的n-1次方
    return A[0][0];// 从上面公式证明可以看出，答案就是n-1方中结果的[0][0]项
}
// 计算矩阵A的n-1次方
void martixpower(int A[2][2],int N){
    int B[2][2]={
        {1,1},
        {1,0}
    };
    // 利用循环 模拟n-1次方
   for(int i=0;i<N-1;++i){
       multiply(A,B);
   }
}
// 矩阵乘法 A*B
void multiply(int A[2][2],int B[2][2]){
        int x = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B[1][0];
        int y = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B[1][1];
        int z = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B[1][0];
        int w = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B[1][1];

        A[0][0] = x;
        A[0][1] = y;
        A[1][0] = z;
        A[1][1] = w; 
}

运行结果
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思考：
假设我们需要求 3 100 {3}^{100} 3100=？
使用for循环：333…33 ，那么将会做99次乘法

但从另一个角度思考：
3 100 {3}^{100} 3100= 3 50 {3}^{50} 350 3 50 {3}^{50} 350 ：如果知道 3 50 {3}^{50} 350 那么再与自身相乘就可以得 3 100 {3}^{100} 3100，需要一次乘法
3 50 {3}^{50} 350= 3 25 {3}^{25} 325 3 25 {3}^{25} 325…
通过上面我们可以发现
3 1 {3}^{1} 31–> 3 2 {3}^{2} 32–> 3 4 {3}^{4} 34–> 3 8 {3}^{8} 38–> 3 16 {3}^{16} 316–> 3 32 {3}^{32} 332…
总结：通过1次方可以求出2次方，2次方可以求出4次方，4次方可以求出8次方…

所以，利用递归，求A的N-1次方代码如下：（这里求矩阵的N-1次方也用到了递归哦 小伙伴可以试试 会有收获的）

int fib(int N)
{
    if(N<=1) return N;
    int A[2][2]={
        {1,1},
        {1,0}};
    martixpower(A,N-1);// 求 A矩阵的n-1次方
    return A[0][0];
}
// 递归求N-1次方
void martixpower(int A[2][2],int N){
    if(N<=1) return;
    martixpower(A,N/2);// 求A矩阵的(n-1)/2 次方
    multiply(A,A); 求的(n-2)/次方后 再与自身相乘
    // 如果N是奇数 则还需要在乘一次B 
    if(N%2==1){
        int B[2][2]={
            {1,1},
            {1,0}
        };
        multiply(A,B);
    }
}
void multiply(int A[2][2],int B[2][2]){
    int x = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B[1][0];
        int y = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B[1][1];
        int z = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B[1][0];
        int w = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B[1][1];

        A[0][0] = x;
        A[0][1] = y;
        A[1][0] = z;
        A[1][1] = w; 
}

测试结果
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方法五：公式法

对于斐波那契数列，通项公式如下：

在这里插入图片描述

通过公式编写代码如下：

int fib(int N)
{
        double goldenRatio = (1 + sqrt(5)) / 2;
        double goldenRatiox=(1-sqrt(5))/2;
        return (int)round((pow(goldenRatio, N)-pow(goldenRatiox,N))/ sqrt(5));
}

测试结果

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但是力扣官方给出的代码如下：

int fib(int N)
{
        double goldenRatio = (1 + sqrt(5)) / 2;
        return (int)round(pow(goldenRatio, N)/ sqrt(5));
}

开始看代码的时候，总觉得官方代码少了一部分，但计算结果还能对，非常神奇！
仔细观察发现二者的区别在于：后者省略了（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的n次方。
那么为什么可以简化为官方那样的代码呢？
通过计算：
（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的0次方=1
（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的1次方=-0.618（黄金分割比）
（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的2次方=0.3819
（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的3次方=-0.2360
（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的4次方=0.1458
（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的5次方=-0.0901
（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的6次方=0.0557
我们发现：随着n的增大，（1- 5 \sqrt{5} 5 ​）/2 的n次方也越来越趋近于0，之后可忽略不计。n较小时，我们利用round函数（四舍五入取整）即可，这样是可以达到和原公式规整代码一样结果的。

模板代码

int fib(int N)
{
    if(N<=1) return N;
    int A[2][2]={
        {1,1},
        {1,0}};
    martixpower(A,N-1);// 求 A矩阵的n-1次方
    return A[0][0];
}
// 递归求N-1次方
void martixpower(int A[2][2],int N){
    if(N<=1) return;
    martixpower(A,N/2);// 求A矩阵的(n-1)/2 次方
    multiply(A,A); 求的(n-2)/次方后 再与自身相乘
    // 如果N是奇数 则还需要在乘一次B 
    if(N%2==1){
        int B[2][2]={
            {1,1},
            {1,0}
        };
        multiply(A,B);
    }
}
void multiply(int A[2][2],int B[2][2]){
    int x = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B[1][0];
        int y = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B[1][1];
        int z = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B[1][0];
        int w = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B[1][1];

        A[0][0] = x;
        A[0][1] = y;
        A[1][0] = z;
        A[1][1] = w; 
}

结语

文章仅作为个人学习笔记记录，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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