为什么基础矩阵F的自由度是7
一、基础矩阵的定义？
基础矩阵是对极几何中，将左图中的一个点的像素坐标，映射到右图中对应极线坐标的矩阵。
二、为什么基础矩阵的自由度是7？
首先，对极几何中，基础矩阵的维度是3×3，也就是有9个元素。基础矩阵是一种射影变换矩阵，将一个齐次坐标变换到另一个齐次坐标。射影变换矩阵（数学上只要是一个3×3的可逆矩阵，就是射影变换矩阵）本身就存在一个尺度因子，可以减少一个自由度，如下所示：
a
=
[
a
1
a
2
a
3
]
,
b
=
[
b
1
b
2
b
3
]
,
h
=
[
h
11
h
12
h
13
h
21
h
22
h
23
h
31
h
32
h
33
]
,
a
=
h
b
a=\left[\begin{matrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{matrix}\right],b=\left[\begin{matrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{matrix}\right],h=\left[\begin{array}{ccc}h_{11}&h_{12}&h_{13}\\ h_{21}&h_{22}&h_{23}\\ h_{31}&h_{32}&h_{33}\end{array}\right],a=hb
a=
a1a2a3
,b=
b1b2b3
,h=
h11h21h31h12h22h32h13h23h33
,a=hb
a,b都是齐次坐标，因此不妨等式前后都提出一个标量比例因子得到
s
1
a
′
=
s
2
h
b
′
s_1a' = s_2hb'
s1a′=s2hb′
同时h矩阵中也可以提出一个比例因子s，得到
s
1
a
′
=
s
2
s
h
′
b
′
，
s
1
s
2
s
a
′
=
h
′
b
′
s_1a' = s_2sh'b'，\frac{s_1}{s_2s}a'=h'b'
s1a′=s2sh′b′，s2ss1a′=h′b′
式子的左边，
a
a
a和
a
′
a'
a′都是齐次坐标，因此是等价的，式子的右边
h
b
hb
hb和
h
′
b
′
h'b'
h′b′表达的意义也是等价的，即使是
h
′
b
h'b
h′b，得出的齐次坐标也是同一个点。因此，射影变换
h
h
h只有8个自由度，其中的
h
33
h_{33}
h33其实可以固定为1，以消除比例因子的影响。
那么基础矩阵呢，由于还存在一个对极约束，使得
x
′
T
F
x
=
0
x'^TFx=0
x′TFx=0
即展开成
x
i
′
x
i
f
11
+
x
i
′
y
i
f
12
+
x
i
′
f
13
+
y
i
′
x
i
f
21
+
y
i
′
y
i
f
22
+
y
i
′
f
23
+
x
i
f
31
+
y
i
f
32
+
f
33
=
0.
x'_ix_if_{11}+x'_iy_if_{12}+x'_if_{13}+y'_ix_if_{21}+y'_iy_if_{22}+y'_if_{23}+x_if_{31}+y_if_{32}+f_{33}=0.
xi′xif11+xi′yif12+xi′f13+yi′xif21+yi′yif22+yi′f23+xif31+yif32+f33=0.
其中
f
33
=
1
f_{33}=1
f33=1，其余8个未知数
f
i
j
f_{ij}
fij，由于受到这个式子的约束，知道其中7个元素，就可以求得剩下1个的元素，因此说，自由度为7。即基础矩阵F的自由度为7.